10–11 классы Случайная последовательность (поток) независимых событий § 53. Случайная последовательность (поток) независимых событий

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 504

Тема: Случайная последовательность (поток) независимых событий

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Татьяна Белова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 503 505 →

Условие

В некотором протяжённом во времени случайном опыте наблюдается последовательность одинаковых независимых событий A, число которых подчиняется распределению Пуассона с параметром λ=2.4. Найдите вероятность того, что событие A

а) наступит ровно 1 раз

б) не наступит ни разу

в) наступит ровно 4 раза

г) наступит от 2 до 5 раз.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

В данной задаче используется закон распределения Пуассона. Вероятность того, что за определённый промежуток времени произойдёт ровно k событий, вычисляется по формуле:

P(k)=λ^k/k!e^-λ

где λ=2.4 — среднее число событий (параметр распределения), а e≈2.718 — основание натурального логарифма.

Шаг 1. Вычисление вероятности для пункта а)

Нам нужно найти вероятность того, что событие наступит ровно один раз, то есть при k=1.

Подставим значения в формулу:

P(1)=2.4¹/1!e^-2.4=2.4·e^-2.4

Вычислим значение экспоненты: e^-2.4≈0.090718.

Тогда:

P(1)≈2.4·0.090718≈0.21772

Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0.218.

Шаг 2. Вычисление вероятности для пункта б)

Здесь требуется найти вероятность того, что событие не наступит ни разу, то есть k=0.

Подставим значения в формулу:

P(0)=2.4⁰/0!e^-2.4

Так как 2.4⁰=1 и 0!=1, выражение упрощается до:

P(0)=1·1·e^-2.4=e^-2.4

Используя ранее найденное значение экспоненты:

P(0)≈0.090718

Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0.091.

Шаг 3. Вычисление вероятности для пункта в)

Нужно найти вероятность того, что событие наступит ровно 4 раза (k=4).

Формула принимает вид:

P(4)=2.4⁴/4!e^-2.4

Вычислим числитель и знаменатель отдельно:

2.4⁴=2.4·2.4·2.4·2.4=5.76·5.76=33.1776
4!=1·2·3·4=24

Теперь подставим эти значения:

P(4)=33.1776/24·e^-2.4≈1.3824·0.090718≈0.12541

Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0.125.

Шаг 4. Вычисление вероятности для пункта г)

Требуется найти вероятность того, что событие наступит от 2 до 5 раз включительно. Это сумма вероятностей для k=2,3,4,5:

P(2≤k≤5)=P(2)+P(3)+P(4)+P(5)

Мы уже знаем P(4)≈0.125. Найдем остальные слагаемые, используя рекуррентную связь или прямое вычисление. Удобнее использовать формулу P(k)=λ/kP(k-1).

Для k=2: P(2)=2.4/2P(1)=1.2·0.21772≈0.26126
Для k=3: P(3)=2.4/3P(2)=0.8·0.26126≈0.20901
Для k=4: P(4)≈0.12541 (уже найдено выше)
Для k=5: P(5)=2.4/5P(4)=0.48·0.12541≈0.06020

Сложим полученные вероятности:

P(2≤k≤5)≈0.26126+0.20901+0.12541+0.06020=0.65588

Округляя до трёх знаков после запятой, получаем 0.656.

Ответ

а) 0,218

б) 0,091

в) 0,125

г) 0,656

Задача решается применением формулы распределения Пуассона. Для пунктов а, б, в используются прямые подстановки. Для пункта г суммируются вероятности отдельных исходов. Рекуррентная формула P(k) = (lambda/k)*P(k-1) значительно упрощает вычисления для последовательных значений k.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 504 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 504?

Краткий ответ: а) 0,218 б) 0,091 в) 0,125 г) 0,656.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 53. Случайная последовательность (поток) независимых событий.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.