ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 55: Свойства среднего арифметического и дисперсии
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Павел Лебедев, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Постройте две диаграммы «ящик с усами» для набора 1,4,3,6,4,12,4,3,5 по разным правилам
а) границы усиков определяются от квартилей на 1,5 межквартильного размаха
б) границы усиков определяются от среднего арифметического на 3 стандартных отклонения. Определите, в каком случае число 12 является выбросом.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для построения диаграмм «ящик с усами» и определения выбросов нам необходимо сначала рассчитать основные статистические характеристики набора данных: 1,4,3,6,4,12,4,3,5.
Шаг 1. Подготовка данных и расчёт квартилей
Сначала упорядочим набор данных по возрастанию:
3,3,4,4,4,5,6,12Объём выборки n=9. Найдём медиану (Q2), первый квартиль (Q1) и третий квартиль (Q3).
- Медиана (Q2): Это среднее значение в упорядоченном ряду. Так как n=9 (нечётное), медиана — это элемент на позиции 9+1/2=5. Пятый элемент равен 4. Значит, Q2=4.
- Первый квартиль (Q1): Медиана нижней половины данных (элементы до медианы). Нижняя половина: 3,3,4,4. Здесь m=4 элемента. Медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов: 3+4/2=3,5. Значит, Q1=3,5.
- Третий квартиль (Q3): Медиана верхней половины данных (элементы после медианы). Верхняя половина: 5,6,12. Здесь k=3 элемента. Медиана — это средний элемент, то есть 6. Значит, Q3=6.
Рассчитаем межквартильный размах (IQR): IQR=Q3-Q1=6-3,5=2,5
Шаг 2. Расчёт среднего арифметического и стандартного отклонения
Найдём среднее арифметическое (x): x=3+3+4+4+4+5+6+12/9=41/9~4,56
Для второго способа нам понадобится стандартное отклонение (s). Сначала вычислим дисперсию (s2). Формула для выборочной дисперсии (или генеральной, в школьном курсе часто используют деление на n, но для оценки разброса обычно берут исправленную дисперсию, деля на n-1. В контексте задач на «выбросы» чаще используется формула со знаменателем n или n-1. Проверим оба варианта, но стандартная практика в таких задачах — использовать формулу со знаком 1/n или 1/n-1. Давайте посчитаем сумму квадратов отклонений: ∑ni=1(xi-x)2=(3-4,56)2+(3-4,56)2+3•(4-4,56)2+(5-4,56)2+(6-4,56)2+(12-4,56)2 Уточним расчёты с точными дробями, чтобы избежать ошибок округления. x=41/9. Отклонения: x1=3:(3-41/9)2=(-14/9)2=196/81 x2=3:196/81 x3=4:(4-41/9)2=(-5/9)2=25/81 x4=4:25/81 x5=4:25/81 x6=5:(5-41/9)2=(4/9)2=16/81 x7=6:(6-41/9)2=(13/9)2=169/81 x8=12:(12-41/9)2=(67/9)2=4489/81 Сумма квадратов отклонений: S2sum=196+196+25+25+25+16+169+4489/81=5141/81~63,47 Если считаем генеральную дисперсию (деление на n=9): s2=5141/81/9=5141/729~7,05 Стандартное отклонение s=~2,66. Если считаем исправленную выборочную дисперсию (деление на n-1=8): s2=5141/81/8=5141/648~7,93 Стандартное отклонение s=~2,82. В школьной практике при анализе выбросов методом «3 сигмы» часто используют оценку стандартного отклонения выборки (s). Возьмём s~2,82.
Шаг 3. Анализ правила 1: Границы усиков по IQR
По первому правилу границы усиков определяются от квартилей на 1,5 межквартильного размаха. Нижняя граница (L) и верхняя граница (U): L=Q1-1,5•IQR=3,5-1,5•2,5=3,5-3,75=-0,25 U=Q3+1,5•IQR=6+1,5•2,5=6+3,75=9,75 Значение 12 сравниваем с верхней границей U=9,75. Так как 12>9,75, число 12 выходит за пределы усика. Вывод: По первому правилу число 12 является выбросом .
Шаг 4. Анализ правила 2: Границы усиков по среднему и СКО
По второму правилу границы усиков определяются от среднего арифметического на 3 стандартных отклонения. Используем исправленное стандартное отклонение s~2,82. Границы интервала: x-3s~4,56-3•2,82=4,56-8,46=-3,9 x+3s~4,56+3•2,82=4,56+8,46=13,02 Значение 12 сравниваем с верхней границей 13,02. Так как 12<13,02, число 12 находится внутри интервала. Вывод: По второму правилу число 12 не является выбросом .
Примечание: Если бы мы использовали генеральное стандартное отклонение s~2,66, то верхняя граница была бы 4,56+3•2,66=4,56+7,98=12,54. В этом случае 12<12,54, и вывод тот же самый: не выброс.
Ответ
Число 12 является выбросом только в первом случае (по правилу межквартильного размаха).
а) Число 12 является выбросом.
б) Число 12 не является выбросом.
Задача требует применения двух разных методов детектирования выбросов. Первый метод (Tukey's fences) основан на устойчивых к выбросам мерах (квартили), поэтому он чувствителен к экстремальным значениям даже в малых выборках. Второй метод (правило 3 сигм) использует среднее и стандартное отклонение, которые сами зависят от выбросов, что может размывать границу. В данном примере из-за малого объёма выборки и сильного влияния числа 12 на дисперсию, правило 3 сигм оказывается более «мягким», чем правило IQR.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 55 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 55?
Краткий ответ: 1) Число 12 является выбросом. 2) Число 12 не является выбросом.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 8. Свойства среднего арифметического и дисперсии.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.