ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 52: Свойства среднего арифметического и дисперсии

Существует важное тождество, связывающее дисперсию набора данных со средним квадратичным и средним арифметическим:

Здесь x_kv — это среднее квадратичное (корень из среднего квадратов), а x — обычное среднее арифметическое. Это свойство позволяет вычислить дисперсию, не зная самих чисел в наборе, если известны эти две характеристики.

Из условия задачи мы знаем:

• Среднее квадратичное x_kv=5;
• Среднее арифметическое x=2.

Подставим эти числа в формулу:

Сначала возведем значения в квадрат:

Теперь найдем разность:

Мы получили значение дисперсии 21. Однако в разделе «Ответы» учебника указан ответ 3. Давайте проанализируем возможную причину расхождения.

Если бы в условии речь шла о среднем квадратичном отклонении (стандартном отклонении), обозначаемом обычно как x_kv или x_откл, то связь была бы такой: x_откл =x_kv/? Нет, стандартное отклонение равно корню из дисперсии: x_откл =x_kv/?. Давайте проверим обратный ход. Если дисперсия равна 3, то среднее квадратичное должно быть таким, что x2kv-2²=3→x2kv=7→x_kv=x_kv/?. Возможно, в условии опечатка, и среднее квадратичное равно не 5, а чему-то другому? Или же под «средним квадратичным» подразумевается не x_kv, а само среднее квадратов 1/nx²? Если под «средним квадратичным» авторы имели в виду величину 1/nx² (средний квадрат), то она равна 5. Тогда дисперсия D=1/nx²-(x)²=5-2²=5-4=1. Тоже не совпадает с ключом. Рассмотрим вариант, где ключ 3 верен для другого определения. Часто путают термины. Но строго по математическому определению: Среднее квадратичное x_kv=x_kv/?. Формула D=x2kv-x² является фундаментальной. При x_kv=5 и x=2: D=25-4=21. Однако, если предположить, что в задаче имелось в виду, что среднее квадратичное отклонение (стандартное отклонение) равно x_kv/?... нет, это усложнение. Давайте посмотрим на число 3. Если дисперсия равна 3, то x2kv=3+4=7. x_kv=x_kv/?. Если же в условии ошибка и среднее квадратичное равно x_kv/?... Часто в школьных задачах встречается термин «среднее квадратичное», означающее x_kv/?. Но иногда путают с «размахом» или другими характеристиками. Есть еще одна интерпретация: возможно, дано не среднее квадратичное всего набора, а сумма квадратов отклонений? Нет, тогда бы писали иначе. Поскольку я обязан следовать условию и математической строгости, результат вычисления по классической формуле дает 21. Ключ 3 может соответствовать задаче, где среднее квадратичное было равно x_kv/? (x_kv/?). Например, если x_kv=x_kv/?, то D=7-4=3. Число x_kv/? близко к 2.65, но не к 5. Или, если среднее квадратичное равно x_kv/?? Нет. Вероятно, в оригинальной задаче учебника было другое число вместо 5, либо ключ относится к другой задаче. Тем не менее, при данных числах 2 и 5 правильный математический ответ — 21. Примечание: Если строго следовать логике некоторых старых задачников, где «среднее квадратичное» могло ошибочно называть саму дисперсию или другую величину, могут возникать расхождения. Но в современном курсе вероятности и статистики формула однозначна. Однако, давайте проверим, не перепутаны ли понятия. Если бы «среднее квадратичное» означало x_kv/? (стандартное отклонение), то D=5²=25. Не подходит. Если бы условие звучало: «среднее арифметическое равно 2, а среднее квадратичное отклонение равно x_kv/?»? Нет. Попробуем подобрать данные под ответ 3. D=3. x=2. Тогда x2kv=3+4=7. x_kv=x_kv/?. Это не целое число. Что если x_kv в условии — это не корень из среднего квадрата, а просто средний квадрат 1/nx²? Тогда D=5-2²=1. Тоже не 3. Что если среднее арифметическое равно x_kv/?? Нет, дано 2. Скорее всего, в условии опечатка: вместо 5 должно быть x_kv/?? Или вместо ответа 3 должен быть 21. Я приведу решение, основанное на строгой формуле. Ответ 21.