10–11 классы *. Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое § 5. *. Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое

ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 46

Тема: *. Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое

Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.

Сергей Мишин, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 45 47 →

Условие

В комнатах общежития живут студенты (не поровну). Каждого спросили, сколько человек живет в его комнате (включая его самого). Среднее арифметическое ответов равно 2,43. Сравните это число со средним количеством студентов в комнате.

Числовая прямая

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Числовая прямая

Шаг 1. Анализ условия и определение величин

В задаче сравниваются две разные статистические величины:

Среднее арифметическое ответов студентов. Каждый студент называет размер своей комнаты. Если комната имеет размер k, то её обитатели дадут ответ k. Таким образом, в выборке ответов число k встречается ровно k раз (по числу жильцов).
Среднее количество студентов в комнате. Это среднее арифметическое размеров комнат, где каждая комната учитывается один раз, независимо от того, сколько в ней людей.

Обозначим: пусть всего в общежитии N комнат. Пусть в i-й комнате живёт x_i человек (i=1,…,N).

Шаг 2. Формулировка среднего количества студентов в комнате

Среднее количество студентов в комнате — это обычное среднее арифметическое размеров всех комнат:

x_комн =1/N∑Ni=1x_i

Это значение показывает, сколько в среднем человек приходится на одну комнату.

Шаг 3. Формулировка среднего арифметического ответов

Каждый из M=∑Ni=1x_i студентов даёт свой ответ. Студенты из i-й комнаты дают ответ x_i. Значит, всего сумма всех ответов равна:

S_{ответов} =∑Ni=1(x_i·x_i)=∑Ni=1x2i

Количество ответов равно общему числу студентов M=∑Ni=1x_i. Тогда среднее арифметическое ответов:

x_отв =∑Ni=1x2i/∑Ni=1x_i=2,43

Шаг 4. Сравнение двух средних

Нам нужно сравнить x_отв и x_комн. Воспользуемся неравенством Коши–Буняковского или свойствами дисперсии.

Рассмотрим разность:

x_отв -x_комн =∑x2i/∑x_i-∑x_i/N

Приведём к общему знаменателю N∑x_i:

N∑x2i-(∑x_i)²/N∑x_i

Числитель N∑x2i-(∑x_i)² всегда неотрицателен по неравенству между средним квадратичным и средним арифметическим (или как следствие неравенства Коши для векторов (1,…,1) и (x_1,…,x_N)). Он равен нулю только если все x_i равны между собой.

По условию задачи студенты живут не поровну , значит, не все x_i одинаковы. Следовательно, числитель строго больше нуля.

Значит, x_отв >x_комн.

Шаг 5. Вывод

Так как среднее арифметическое ответов (2,43) строго больше среднего количества студентов в комнате, то само среднее количество студентов в комнате меньше 2,43.

Ответ требует сравнения: число 2,43 больше среднего количества студентов в комнате.

Ответ

Среднее арифметическое ответов (2,43) больше среднего количества студентов в комнате.

Задача иллюстрирует парадокс взвешенного среднего. Когда мы спрашиваем каждого человека, большие группы дают больший «вес» в итоговом среднем, так как каждый член большой группы повторяет одно и то же большое число. Поэтому среднее по людям всегда больше или равно среднему по объектам (комнатам), при условии неоднородности групп.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 46 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 46?

Краткий ответ: Среднее арифметическое ответов (2,43) больше среднего количества студентов в комнате.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. *. Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.