ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 42
Тема: *. Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Кирилл Панов, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Дан набор x={x1,x2,...,xn} со средним квадратичным Qx, геометрическим Gx и гармоническим Hx. Набор y={y1,y2,...,yn} получен умножением каждого элемента на положительное число a (yi=axi). Верны ли утверждения
а) Qy=aQx
б) Gy=aGx
в) Hy=aHx? Доказать или привести контрпример.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Решение
В данной задаче нам нужно проверить свойства однородности трёх видов средних величин (квадратичного, геометрического и гармонического) при умножении всех элементов набора на положительное число a. Мы выведем формулы для нового набора y через исходный набор x и сравним результаты с утверждениями.
Шаг 1. Проверка утверждения а) для среднего квадратичного
По определению, среднее квадратичное набора x равно:
Qx=x21+x22+…+x2n/nДля набора y, где yi=axi, среднее квадратичное будет:
Qy=(ax1)2+(ax2)2+…+(axn)2/nВынесем множитель a2 за скобки в числителе под корнем:
Qy=a2(x21+x22+…+x2n)/n=a2·x21+x22+…+x2n/nТак как по условию a>0, то a2=a. Следовательно:
Qy=a·QxВывод: Утверждение верно .
Шаг 2. Проверка утверждения б) для среднего геометрического
Среднее геометрическое набора x определяется как:
Gx=nx1·x2·…·xnДля набора y имеем:
Gy=n(ax1)·(ax2)·…·(axn)В произведении под корнем стоит n множителей a. Сгруппируем их:
Gy=nan·(x1·x2·…·xn)Используя свойство радикала nA·B=nA·nB, получаем:
Gy=nan·nx1·x2·…·xnТак как a>0, то nan=a. Следовательно:
Gy=a·GxВывод: Утверждение верно .
Шаг 3. Проверка утверждения в) для среднего гармонического
Среднее гармоническое набора x равно:
Hx=n/1/x1+1/x2+…+1/xnДля набора y запишем формулу:
Hy=n/1/y1+1/y2+…+1/yn=n/1/ax1+1/ax2+…+1/axnВынесем общий множитель 1/a из знаменателя:
Hy=n/1/a(1/x1+1/x2+…+1/xn)Перевернём дробь, перенеся 1/a в числитель (или просто сократив сложную дробь):
Hy=a·n/1/x1+1/x2+…+1/xnЗаметим, что выражение после a — это в точности Hx. Следовательно:
Hy=a·HxВывод: Утверждение верно .
Ответ
Все три утверждения верны. Средние величины (квадратичное, геометрическое и гармоническое) являются однородными функциями первой степени относительно своих аргументов.
а) Верно
б) Верно
в) Верно
Ключ в условии содержит только пункты а) и б), но математически пункт в) также верен. Среднее гармоническое обладает тем же свойством однородности: если все данные увеличить в a раз, то среднее гармоническое также увеличится в a раз. Решение построено на прямом алгебраическом доказательстве для каждого случая.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 42 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 42?
Краткий ответ: а) Верно б) Верно в) Верно.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. *. Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.