ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 44

Пусть m — истинная масса товара, который мы хотим измерить. Пусть l₁ и l₂ — длины плеч весов (l₁≠l₂). При уравновешивании выполняется правило моментов: произведение массы на длину плеча слева равно произведению массы на длину плеча справа.

Положим товар на левую чашу (плечо l₁), а гири — на правую чашу (плечо l₂). Обозначим массу гирь, необходимую для равновесия, как m₁. Уравнение равновесия:

Теперь положим товар на правую чашу (плечо l₂), а гири — на левую чашу (плечо l₁). Обозначим массу гирь, необходимую для равновесия, как m₂. Уравнение равновесия:

Продавец берет среднее арифметическое результатов двух взвешиваний. Обозначим его за m:

Нам нужно сравнить m с m. Для этого проанализируем выражение в скобках: l₁/l₂+l₂/l₁. Воспользуемся известным алгебраическим неравенством: для любых положительных чисел a и b сумма a/b+b/a≥2, причем равенство достигается только при a=b. Докажем это для нашего случая. Пусть x=l₁/l₂. Тогда второе слагаемое равно 1/x. Рассмотрим разность: x+1/x-2=x²-2x+1/x=(x-1)²/x Так как l₁≠l₂, то x≠1, следовательно (x-1)²>0. Так как длины плеч положительны, то x>0. Значит, (x-1)²/x>0, откуда следует, что x+1/x>2. То есть: l₁/l₂+l₂/l₁>2

Вернемся к формуле для среднего арифметического: m=m/2(l₁/l₂+l₂/l₁) Так как множитель в скобках строго больше 2, то: m>m/2·2 m>m

Мы получили, что среднее арифметическое двух показаний всегда больше истинной массы товара, если плечи весов не равны. Это связано с тем, что функция f(x)=x+1/x имеет минимум при x=1 (когда плечи равны), а при отклонении плечей друг от друга значение суммы увеличивается. Следовательно, метод продавца систематически завышает результат измерения.