ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 41
Тема: *. Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Павел Лебедев, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
При определяемой потребляемой электроприбором мощности инженер сделал пять измерений силы тока, протекающего через прибор при постоянном напряжении: I1,I2,...,I5. Инженер знает, что мощность вычисляется по формуле W=RI2, где R — известное электрическое сопротивление прибора. Инженер нашёл среднее значение силы тока I и вычислил среднюю потребляемую мощность по формуле Wср =RI2.
а) Верно ли, что инженер нашёл среднее арифметическое значение мощности?
б) Предложите правильную формулу для определения средней мощности по измеренным значениям силы тока.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В этой задаче мы разберёмся с тем, как правильно усреднять величины, которые зависят от измеряемых параметров нелинейно. Ключевой момент здесь — различие между средним арифметическим самих значений и значением функции от среднего арифметического.
Шаг 1. Анализ пункта а)
Инженер вычислил мощность по формуле Wср =RI2, где I — это среднее арифметическое пяти измерений силы тока:
I=I1+I2+I3+I4+I5/5Давайте посмотрим, что такое среднее арифметическое значение мощности . Если бы инженер хотел найти именно его, он должен был бы сначала вычислить мощность для каждого отдельного измерения (Wi=RI2i), а затем найти их среднее арифметическое:
Wарифм =W1+W2+W3+W4+W5/5=RI21+RI22+RI23+RI24+RI25/5=R·I21+I22+I23+I24+I25/5Сравним два выражения:
- То, что сделал инженер: R(∑Ii/5)2
- Истинное среднее арифметическое мощностей: R(∑I2i/5)
Из неравенства Коши-Буняковского или просто из свойств дисперсии известно, что квадрат среднего не равен среднему квадратов (если значения не одинаковы). Следовательно, инженер не нашёл среднее арифметическое значение мощности.
Шаг 2. Вывод формулы для пункта б)
Нам нужно предложить правильную формулу для определения средней потребляемой мощности. Как мы выяснили в первом шаге, средняя мощность должна быть равна среднему арифметическому мощностей, полученных при каждом отдельном измерении:
W=1/5∑5i=1Wi=1/5∑5i=1RI2i=R·1/5∑5i=1I2iОбратим внимание на множитель при сопротивлении R: 1/5∑5i=1I2i. Это выражение под корнем является определением среднего квадратичного (или среднеквадратичного) значения силы тока. Обозначим его Iкв:
Iкв =I21+I22+I23+I24+I25/5Тогда средняя мощность может быть записана через среднее квадратичное значение тока:
W=R·I2квТаким образом, чтобы получить корректную среднюю мощность, инженеру следовало использовать не среднее арифметическое тока, а его среднее квадратичное значение.
Шаг 3. Проверка и итоговый вывод
Проверим логику на простом примере. Пусть было два измерения (для упрощения): I1=0 А и I2=2 А, сопротивление R=1 Ом.
- Среднее арифметическое тока: I=0+2/2=1 А.
- Мощность по методу инженера: Wинж =1·12=1 Вт.
- Реальные мощности: W1=1·02=0 Вт, W2=1·22=4 Вт.
- Средняя реальная мощность: W=0+4/2=2 Вт.
Как видим, 1≠2. Метод инженера занижает результат (в данном случае). Правильный подход через среднее квадратичное:
Iкв =02+22/2=2≈1,41 А W=R·I2кв =1·(2)2=2 ВтРезультат совпал с истинным средним арифметическим мощностей. Ответ подтверждён.
а) Нет
б) W=R·I2кв, где Iкв — среднее квадратичное значение силы тока
Задача демонстрирует важность понимания типов средних величин. Среднее арифметическое функции не равно функции от среднего арифметического аргумента, если функция не линейна. Для квадратичной зависимости мощности от тока (W∼I2) корректным усреднением является использование среднего квадратичного тока.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 41 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 41?
Краткий ответ: а) Нет б) W = R · I_кв^2, где I_кв — среднее квадратичное значение силы тока.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. *. Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.