ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 43
Тема: *. Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Дмитрий Орлов, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Дан набор x={x1,x2,...,xn} со средним квадратичным Qx, геометрическим Gx и гармоническим Hx. Набор y={y1,y2,...,yn} получен сдвигом y=x+a. Верны ли утверждения
а) Qy=Qx+a
б) Gy=Gx+a
в) Hy=Hx+a? Доказать или привести контрпример.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В этой задаче нам нужно проверить, как ведут себя среднее квадратичное (Q), среднее геометрическое (G) и среднее гармоническое (H) при линейном сдвиге набора данных. Пусть исходный набор x={x1,x2,...,xn}, а новый набор y={y1,y2,...,yn}, где каждый элемент yi=xi+a. Мы будем последовательно рассматривать каждое утверждение.
Шаг 1. Проверка утверждения а) Qy=Qx+a
Среднее квадратичное определяется по формуле: Qx=x21+x22+...+x2n/n Для набора y имеем: Qy=(x1+a)2+(x2+a)2+...+(xn+a)2/n Раскроем скобки в числителе под корнем для одного элемента: (xi+a)2=x2i+2axi+a2. Тогда сумма примет вид: ∑ni=1(x2i+2axi+a2)=∑ni=1x2i+2a∑ni=1xi+na2 Подставим это обратно в формулу для Qy: Qy=∑x2i/n+2a∑xi/n+a2=Q2x+2ax+a2 где x — среднее арифметическое набора x. Очевидно, что выражение Q2x+2ax+a2 не равно Qx+a в общем случае. Чтобы убедиться в этом окончательно, приведем простой контрпример.
Контрпример: Пусть x={1,3}, тогда n=2.
Qx=12+32/2=10/2=5≈2,24.
Пусть сдвиг a=1. Тогда y={2,4}.
Qy=22+42/2=20/2=10≈3,16.
Проверяем равенство: Qx+a=5+1≈3,24.
Так как 3,16≠3,24, утверждение неверно .
Шаг 2. Проверка утверждения б) Gy=Gx+a
Среднее геометрическое для положительных чисел определяется как: Gx=nx1·x2·...·xn Для набора y: Gy=n(x1+a)(x2+a)...(xn+a) Здесь мы видим произведение сумм, которое не раскладывается на сумму произведений или другим простым образом, чтобы дать результат Gx+a. Это свойство характерно только для аддитивных величин, а среднее геометрическое мультипликативно.
Контрпример: Пусть x={1,4}, n=2.
Gx=1·4=4=2.
Пусть сдвиг a=1. Тогда y={2,5}.
Gy=2·5=10≈3,16.
Проверяем равенство: Gx+a=2+1=3.
Так как 3,16≠3, утверждение неверно .
Шаг 3. Проверка утверждения в) Hy=Hx+a
Среднее гармоническое для ненулевых чисел определяется как: Hx=n/1/x1+1/x2+...+1/xn Для набора y: Hy=n/1/x1+a+1/x2+a+...+1/xn+a Аналогично предыдущим случаям, операция сложения знаменателей дробей после сдвига не приводит к простому сдвигу итогового значения.
Контрпример: Пусть x={1,1}, n=2.
Hx=2/1/1+1/1=2/2=1.
Пусть сдвиг a=1. Тогда y={2,2}.
Hy=2/1/2+1/2=2/1=2.
Проверяем равенство: Hx+a=1+1=2.
В данном частном случае равенство выполнилось! Но это исключение. Возьмем другой пример.
Пусть x={1,2}, n=2.
Hx=2/1/1+1/2=2/1,5=4/3≈1,33.
Пусть сдвиг a=1. Тогда y={2,3}.
Hy=2/1/2+1/3=2/5/6=12/5=2,4.
Проверяем равенство: Hx+a=4/3+1=7/3≈2,33.
Так как 2,4≠2,33, утверждение неверно в общем случае.
Итоговый вывод
Ни одно из предложенных утверждений не является верным для произвольного набора чисел и произвольного сдвига a. Средние величины Q,G,H не обладают свойством инвариантности относительно аддитивного сдвига (в отличие от среднего арифметического, для которого верно Ay=Ax+a).
а) Неверно.
б) Неверно.
в) Неверно.
Для каждого пункта приведены определения средних величин, алгебраический анализ и конкретные числовые контрпримеры, опровергающие гипотезу о линейности этих средних при сдвиге.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 43 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 43?
Краткий ответ: а) Неверно. б) Неверно. в) Неверно.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. *. Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.