ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 45
Тема: *. Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Ольга Кузнецова, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Имеется массив различных чисел x1,x2,...,xn. Что больше: среднее арифметическое квадратов этих чисел или квадрат среднего арифметического этих чисел?
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В этой задаче нам нужно сравнить две величины, вычисленные по одному и тому же набору чисел x1,x2,...,xn. Первая величина — это среднее арифметическое квадратов этих чисел. Вторая величина — это квадрат среднего арифметического самих чисел.
Шаг 1. Запишем формулы для сравниваемых величин
Среднее арифметическое исходных чисел обозначим как x:
x=x1+x2+...+xn/nТогда квадрат среднего арифметического будет равен:
(x)2=(x1+x2+...+xn/n)2Теперь рассмотрим среднее арифметическое квадратов . Сначала возведём каждое число в квадрат: x21,x22,...,x2n. Их среднее арифметическое равно:
x2=x21+x22+...+x2n/nШаг 2. Сравним величины с помощью неравенства Коши-Буняковского или дисперсии
Для наглядности можно использовать понятие выборочной дисперсии. Дисперсия набора чисел всегда неотрицательна (D≥0). Формула дисперсии через средние значения выглядит так:
D=x2-(x)2Так как числа в массиве различны, то они не все равны между собой. Если бы все числа были одинаковыми, дисперсия была бы равна нулю. Но поскольку числа различны, разброс значений существует, значит, дисперсия строго положительна:
D>0impliesx2-(x)2>0Отсюда следует, что:
x2>(x)2То есть среднее арифметическое квадратов больше квадрата среднего арифметического.
Шаг 3. Проверка на простом примере
Возьмём два различных числа, например, x1=1 и x2=3.
1. Найдём среднее арифметическое чисел:
x=1+3/2=2Квадрат этого среднего:
(x)2=22=42. Найдём квадраты чисел:
x21=12=1, x22=32=9Среднее арифметическое квадратов:
x2=1+9/2=10/2=5Сравниваем результаты: 5>4. Действительно, среднее арифметическое квадратов оказалось больше.
Среднее арифметическое квадратов
Задача проверяет знание неравенства между средними (в частности, связь с дисперсией). Для любых различных чисел выполняется строгое неравенство: среднее арифметическое квадратов строго больше квадрата среднего арифметического.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 45 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 45?
Краткий ответ: Среднее арифметическое квадратов.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. *. Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.