ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 48
Тема: *. Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Мария Волкова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Среднее арифметическое набора x={x1,x2,...,xn} равно 10, а среднее квадратичное меньше 1000. Докажите, что не менее 10% чисел в наборе отличны от нуля.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства утверждения воспользуемся методом от противного. Предположим, что менее 10% чисел в наборе отличны от нуля. Это означает, что более 90% чисел равны нулю.
Шаг 1. Обозначения и предположение
Пусть всего в наборе n чисел: x1,x2,…,xn. Согласно условию, среднее арифметическое равно 10: x1+x2+…+xn/n=10implies∑ni=1xi=10n Предположим, что количество ненулевых элементов составляет k, где k<0,1n. Тогда количество нулевых элементов равно n-k>0,9n. Обозначим множество ненулевых элементов как Y={y1,y2,…,yk}, где yj≠0. Сумма всех элементов набора равна сумме ненулевых элементов: ∑kj=1yj=10n
Шаг 2. Оценка среднего квадратичного
Среднее квадратичное (СК) набора определяется формулой: Q=x21+x22+…+x2n/n Так как n-k элементов равны нулю, их квадраты также равны нулю. Следовательно, сумма квадратов всего набора равна сумме квадратов только ненулевых элементов: ∑ni=1x2i=∑kj=1y2j По условию задачи, среднее квадратичное меньше 1000: Q<1000impliesQ2<1000 Подставим выражение для Q2: ∑kj=1y2j/n<1000implies∑kj=1y2j<1000n
Шаг 3. Применение неравенства Коши — Буняковского
Рассмотрим сумму квадратов ненулевых элементов ∑kj=1y2j. Для фиксированной суммы ∑kj=1yj=10n минимальное значение суммы квадратов достигается, когда все слагаемые равны между собой (следствие из неравенства между средним квадратичным и средним арифметическим или неравенства Коши — Буняковского). Неравенство Коши — Буняковского для векторов (1,1,…,1) и (y1,…,yk): (∑kj=11·yj)2≤(∑kj=112)(∑kj=1y2j) (10n)2≤k·∑kj=1y2j Отсюда получаем оценку снизу для суммы квадратов: ∑kj=1y2j≥100n2/k
Шаг 4. Противоречие
У нас есть два условия на сумму квадратов: 1. Из определения СК: ∑kj=1y2j<1000n 2. Из неравенства Коши — Буняковского: ∑kj=1y2j≥100n2/k Следовательно, должно выполняться неравенство: 100n2/k<1000n Разделим обе части на 100n (так как n>0): n/k<10impliesn<10kimpliesk>n/10=0,1n Мы получили, что количество ненулевых элементов k должно быть строго больше 10% от общего числа элементов n. Однако наше исходное предположение было таким: k<0,1n. Получено противоречие.
Шаг 5. Вывод
Поскольку предположение о том, что менее 10% чисел отличны от нуля, привело к противоречию с условием на среднее квадратичное, это предположение неверно. Значит, не менее 10% чисел в наборе должны быть отличны от нуля. Доказательство завершено.
Доказано методом от противного: если бы ненулевых элементов было менее 10%, то по неравенству Коши-Буняковского сумма их квадратов была бы слишком велика, что противоречило бы условию Q<1000.
Задача требует аккуратного применения неравенств. Ключевой момент — связать среднее арифметическое всей выборки с суммой квадратов через неравенство Коши-Буняковского для подмножества ненулевых элементов. Важно не забыть, что нули не влияют на сумму квадратов, но влияют на знаменатель при вычислении среднего.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 48 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 48?
Краткий ответ: Доказано методом от противного: если бы ненулевых элементов было менее 10%, то по неравенству Коши-Буняковского сумма их квадратов была бы слишком велика, что противоречило бы условию Q < √1000.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. *. Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.