ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 47
Тема: *. Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Павел Лебедев, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите цепочку неравенств о средних для двух положительных чисел a и b: 2/1/a+1/btextlessabtextlessa+b/2textlessa2+b2/2. Все неравенства строгие при a≠b и превращаются в равенства только при a=b.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Доказательство цепочки неравенств средних
Нам нужно доказать для двух положительных чисел a и b следующую цепочку:
2/1/a+1/b<ab<a+b/2<a2+b2/2Мы разобьем доказательство на три части, сравнивая соседние средние: гармоническое с геометрическим, геометрическое с арифметическим и арифметическое с квадратичным. В каждом случае мы покажем, что разность или отношение позволяет сделать вывод о строгости неравенства при a≠b.
Шаг 1. Сравнение среднего гармонического и среднего геометрического
Среднее гармоническое двух чисел записывается как H=2/1/a+1/b. Упростим выражение в знаменателе:
1/a+1/b=b+a/abТогда само среднее гармоническое принимает вид:
H=2/a+b/ab=2ab/a+bСравним его со средним геометрическим G=ab. Рассмотрим разность G-H:
ab-2ab/a+b=(a+b)ab-2ab/a+bВынесем ab в числителе:
ab(a+b-2ab)/a+b=ab(a-b)2/a+bТак как a>0 и b>0, то ab>0 и a+b>0. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому (a-b)2≥0. Следовательно, вся дробь неотрицательна.
Если a≠b, то (a-b)2>0, значит разность строго положительна, то есть G>H.
Если a=b, то разность равна нулю, то есть G=H.
Шаг 2. Сравнение среднего геометрического и среднего арифметического
Это классическое неравенство Коши (или неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим). Пусть A=a+b/2 и G=ab.
Рассмотрим разность A-G:
a+b/2-ab=a+b-2ab/2Заметим, что числитель является полным квадратом:
a+b-2ab=(a)2-2ab+(b)2=(a-b)2Таким образом:
A-G=(a-b)2/2Поскольку квадрат числа неотрицателен, то A-G≥0, откуда следует A≥G.
Неравенство строгое (A>G), если a≠b, то есть когда a≠b. Если же a=b, то A=G.
Шаг 3. Сравнение среднего арифметического и среднего квадратичного
Пусть Q=a2+b2/2 — среднее квадратичное. Нам нужно доказать, что Q>A при a≠b.
Так как обе части неравенства положительны, можно возвести их в квадрат. Сравним Q2 и A2:
Q2=a2+b2/2, A2=(a+b/2)2=a2+2ab+b2/4Рассмотрим разность Q2-A2:
a2+b2/2-a2+2ab+b2/4=2(a2+b2)-(a2+2ab+b2)/4 =2a2+2b2-a2-2ab-b2/4=a2-2ab+b2/4Числитель снова представляет собой полный квадрат:
(a-b)2/4Очевидно, что (a-b)2/4≥0. Значит, Q2≥A2, а так как Q,A>0, то и Q≥A.
Строгое неравенство Q>A выполняется тогда и только тогда, когда (a-b)2>0, то есть при a≠b. При a=b имеем равенство.
Итоговый вывод
Объединив результаты трех шагов, получаем:
H<G<A<Q при a≠b H=G=A=Q при a=bЧто и требовалось доказать.
Доказано
а) 2ab/a+b<ab при a≠b
б) ab<a+b/2 при a≠b
в) a+b/2<a2+b2/2 при a≠b Все неравенства обращаются в равенства при a=b.
В условии задачи ключ из раздела «Ответы» явно относится к другой задаче (про набор чисел и среднее квадратичное не меньше некоторого значения), поэтому он проигнорирован. Решение построено строго по тексту условия: последовательное сравнение пар средних величин через алгебраические преобразования (разность квадратов, выделение полного квадрата).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 47 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 47?
Краткий ответ: Доказано: а) 2aba+b < √ab при a ≠ b б) √ab < a+b2 при a ≠ b в) a+b2 < a^2+b^22 при a ≠ b Все неравенства обращаются в равенства при a=b.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. *. Среднее квадратичное, среднее гармоническое и среднее геометрическое.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.