ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 59: Свойства среднего арифметического и дисперсии

Величина X — это пробег в милях на галлон (mpg). Нам даны: среднее x=25,4 mpg и стандартное отклонение SD_x=8,9 mpg.

Требуется найти характеристики для величины Y — средний пробег в километрах на литр (км/л).

Связь между единицами измерения:

• 1 миля =1,609 км;
• 1 галлон =4,55 л.

Если автомобиль проезжает M миль на G галлонах, то его расход в км/л равен:

Обозначим коэффициент пересчета за k:

Вычислим значение k:

Так как величина Y получается умножением величины X на положительную константу k, мы можем применить свойства среднего арифметического и дисперсии при линейном преобразовании:

1. Новое среднее: y=k·x.
2. Новое стандартное отклонение: SD_y=|k|·SD_x. Поскольку k>0, то SD_y=k·SD_x.
3. Дисперсия равна квадрату стандартного отклонения: D_y=(SD_y)².

Расчет среднего:

Округлим до сотых, так как исходные данные имеют три значащих цифры или один знак после запятой, но обычно в таких задачах оставляют два знака:

Расчет стандартного отклонения:

Округлим до сотых:

Расчет дисперсии:

В условии спрашивается про дисперсию. Дисперсия D_y равна квадрату стандартного отклонения:

Или используя точное значение из шага выше:

Ответ к пункту а): Информации достаточно. Средний пробег составляет примерно 8,98 км/л, стандартное отклонение 3,15 км/л, дисперсия 9,90 (км/л)².

Теперь требуется найти характеристики для величины Z — «средний расход топлива в литрах на 100 км пробега».

Заметим, что величина Z обратно пропорциональна величине Y (пробегу на единицу объема). Если машина едет дальше на одном литре (Y больше), то она тратит меньше литров на сто километров (Z меньше).

Формула связи:

Где Y — пробег в км/л.

Нам известно распределение величины Y только через её среднее y и стандартное отклонение SD_y. Однако, чтобы точно вычислить среднее и дисперсию новой величины Z, которая является нелинейной функцией от Y (Z=100/Y), недостаточно знать только первые два момента распределения Y.

Свойства линейного преобразования (E[aX+b]=aE[X]+b и Var(aX+b)=a²Var(X)) здесь неприменимы, так как функция обратная, а не линейная.

Для оценки среднего значения обратной величины часто используют приближенную формулу (метод дельта-метода или разложение Тейлора), но она требует знания формы распределения или дополнительных моментов. Более того, даже если бы мы могли оценить среднее z≈100/y, то для точного расчета дисперсии величины Z необходимо знать все моменты распределения Y или предполагать нормальность распределения с учетом того, что обратная величина нормально распределенной переменной имеет распределение, отличное от нормального (распределение Коши или подобное, если знаменатель может быть близок к нулю, хотя в данном случае Y>0).

Главный аргумент: Статистические характеристики нелинейных функций случайных величин не определяются однозначно только по среднему и дисперсии аргумента. Разные распределения Y с одинаковыми y=8,98 и SD_y=3,15 могут давать разные значения z и D_z.

Поэтому строго говоря, информации для точного нахождения среднего и дисперсии величины Z недостаточно.

Примечание: Иногда в школьных задачах допускается грубое приближение, считая, что среднее обратной величины равно обратной величине среднего: z≈100/8,98≈11,14 л/100 км. Но вопрос о дисперсии остается открытым без дополнительных предположений. В контексте темы «Свойства среднего арифметического и дисперсии» акцент делается на том, что эти свойства работают для линейных преобразований. Обратная зависимость — нелинейная.

Ответ к пункту б): Информации недостаточно, так как связь между пробегом и расходом является нелинейной (обратной), а свойства дисперсии для нелинейных преобразований требуют знания полного распределения или дополнительных данных.