ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 58: Свойства среднего арифметического и дисперсии
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Павел Лебедев, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Числовой массив y получается из массива x линейным преобразованием y=ax+b, где a и b — некоторые числа. Пусть Qx и Qy — средние квадратичные значения массивов x и y. Верно ли равенство Qy=aQx+b? Докажите это или приведите контрпример.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
В этом задании нужно проверить, сохраняется ли линейная зависимость при переходе от исходных данных к их средним квадратичным значениям. Мы знаем формулы для среднего арифметического и дисперсии при линейном преобразовании y=ax+b. Среднее квадратичное значение Q связано с этими величинами соотношением Q2=x2+Dx, где x — среднее арифметическое, а Dx — дисперсия.
Шаг 1. Выводим формулу для Qy через параметры массива x
Сначала вспомним свойства среднего арифметического и дисперсии:
- y=ax+b;
- Dy=a2Dx.
Теперь подставим эти выражения в формулу для квадрата среднего квадратичного значения массива y:
Q2y=y2+Dy=(ax+b)2+a2DxРаскроем скобки:
Q2y=a2x2+2abx+b2+a2DxСгруппируем слагаемые, содержащие множитель a2:
Q2y=a2(x2+Dx)+2abx+b2Так как x2+Dx=Q2x, получаем:
Q2y=a2Q2x+2abx+b2Отсюда следует, что Qy=a2Q2x+2abx+b2. Это выражение не равно aQx+b в общем случае.
Шаг 2. Приводим контрпример
Чтобы доказать неверность равенства Qy=aQx+b, достаточно привести один пример, когда оно нарушается. Возьмём простой числовой массив x из двух элементов.
Пусть x={1;2}. Тогда параметры преобразования: a=1, b=1. Получаем массив y=x+1={2;3}.
Вычислим характеристики для массива x:
- Среднее арифметическое: x=1+2/2=1,5.
- Дисперсия: Dx=(1-1,5)2+(2-1,5)2/2=0,25+0,25/2=0,25.
- Среднее квадратичное: Qx=x2+Dx=1,52+0,25=2,25+0,25=2,5≈1,58.
Вычислим характеристики для массива y:
- Среднее арифметическое: y=2+3/2=2,5.
- Дисперсия: Dy=(2-2,5)2+(3-2,5)2/2=0,25+0,25/2=0,25.
- Среднее квадратичное: Qy=y2+Dy=2,52+0,25=6,25+0,25=6,5≈2,55.
Проверим предполагаемое равенство Qy=aQx+b:
aQx+b=1·2,5+1=2,5+1≈1,58+1=2,58 Qy=6,5≈2,55Видно, что 2,55≠2,58. Равенство не выполняется.
Шаг 3. Итоговый вывод
Мы показали, что среднее квадратичное значение не является линейной функцией от исходных данных. Линейное преобразование y=ax+b влияет на Q сложнее, чем просто умножение на a и прибавление b, из-за наличия смешанного члена 2abx в выражении для Q2y.
Ответ: Неверно.
Неверно
Решение построено на строгом выводе формулы связи Qy и Qx через свойства дисперсии и среднего. Контрпример выбран минимально возможным (два числа), чтобы наглядно показать расхождение значений. Важно отметить, что если бы b=0, то равенство Qy=|a|Qx выполнялось бы, но наличие свободного члена b ломает линейность для среднего квадратичного.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 58 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 58?
Краткий ответ: Неверно.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 8. Свойства среднего арифметического и дисперсии.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.