ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 74
Тема: 11. Степени вершин графа. Эйлеровы пути и эйлеровы графы
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Вера Лапина, преподаватель математики Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Приведите пример связного плоского графа с четырьмя вершинами, который разбивает плоскость
а) на 3 области
б) на 4 области.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения задачи воспользуемся формулой Эйлера для связного плоского графа: V-E+F=2, где V — количество вершин, E — количество рёбер, F — количество областей (граней), на которые граф разбивает плоскость.
Шаг 1. Анализ условия и применение формулы Эйлера
По условию у нас есть связный плоский граф с четырьмя вершинами, то есть V=4. Нам нужно найти такие графы, которые удовлетворяют заданному количеству областей F.
Подставим V=4 в формулу Эйлера:
4-E+F=2impliesF=E-2Таким образом, количество областей напрямую зависит от количества рёбер. Чтобы построить пример, нам нужно выбрать допустимое число рёбер E и убедиться, что граф можно нарисовать без пересечений рёбер (он плоский).
Шаг 2. Решение пункта а) на 3 области
Нам нужно получить F=3. Используем выведенную зависимость:
3=E-2impliesE=5Значит, нам нужен связный плоский граф с 4 вершинами и 5 рёбрами.
Пример: Рассмотрим полный граф K4 (все вершины соединены со всеми). У него 6 рёбер. Если мы удалим одно ребро из K4, получим граф с 5 рёбрами. Этот граф всё ещё будет связным и плоским (так как K4 является планарным графом, удаление ребра сохраняет планарность).
Давайте проверим структуру такого графа:
- Вершины: A,B,C,D.
- Рёбра: (A,B),(B,C),(C,D),(D,A) — это цикл длины 4. Плюс диагональ (A,C). Всего 5 рёбер.
- Области: Внутри цикла ABCD диагональ AC делит его на две треугольные области (ABC и ADC). Снаружи цикла находится третья область (внешняя грань). Итого 3 области.
Примечание к чертежу: представьте квадрат ABCD с проведённой диагональю AC. Это и есть нужный граф.
Шаг 3. Решение пункта б) на 4 области
Нам нужно получить F=4. Используем зависимость:
4=E-2impliesE=6Значит, нам нужен связный плоский граф с 4 вершинами и 6 рёбрами.
Пример: Полный граф K4 имеет ровно 4 вершины и 4·3/2=6 рёбер. Известно, что K4 является планарным графом (его можно нарисовать на плоскости так, чтобы рёбра не пересекались).
Как выглядит такой рисунок? Обычно одну вершину помещают внутрь треугольника, образованного тремя другими вершинами, и соединяют её со всеми тремя вершинами треугольника. Или рисуют треугольник и четвёртую вершину снаружи, соединяя её со всеми тремя.
Проверка областей для K4:
- Если нарисовать треугольник ABC и внутри него точку D, соединив D с A,B,C, то мы получим три внутренних треугольных области (ABD,BCD,CAD).
- Плюс одна внешняя область, ограниченная сторонами треугольника ABC.
- Итого: 3+1=4 области.
Примечание к чертежу: добавьте точку D внутри треугольника ABC и проведите отрезки AD, BD, CD.
Шаг 4. Проверка ответов
а) Граф с V=4,E=5. Формула Эйлера: 4-5+3=2. Верно. Граф связен и плоский.
б) Граф с V=4,E=6. Формула Эйлера: 4-6+4=2. Верно. Граф связен и плоский (K4).
а) Примером служит граф, полученный из полного графа K4 удалением одного ребра (или квадрат с одной диагональю). Он имеет 4 вершины, 5 рёбер и разбивает плоскость на 3 области.
б) Примером служит полный граф K4 (треугольник с точкой внутри, соединённой со всеми вершинами). Он имеет 4 вершины, 6 рёбер и разбивает плоскость на 4 области.
Задача решается через формулу Эйлера V-E+F=2. Для V=4 получаем F=E-2. Для F=3 нужно E=5, для F=4 нужно E=6. Оба случая реализуются простыми планарными графами.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 74 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 74?
Краткий ответ: а) Примером служит граф, полученный из полного графа K_4 удалением одного ребра (или квадрат с одной диагональю). Он имеет 4 вершины, 5 рёбер и разбивает плоскость на 3 области. б) Примером служит полный граф K_4 (треугольник с точкой внутри, соединённой со всеми вершинами). Он имеет 4 вершины, 6 рёбер и разбивает плоскость на 4 области.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: 11. Степени вершин графа. Эйлеровы пути и эйлеровы графы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.