ГДЗ по вероятности и статистике, 10 класс, Высоцкий, номер 75
Тема: 11. Степени вершин графа. Эйлеровы пути и эйлеровы графы
Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание — Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.
Татьяна Белова, методист по вероятности Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
На рисунке 38 изображены графы многогранников (тетраэдр, призма, куб). Нарисуйте для каждого из них изоморфный ему плоский граф.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для того чтобы нарисовать плоский граф, изоморфный заданному многограннику, нужно представить его вершины и рёбра так, чтобы они лежали в одной плоскости и не пересекались. Это можно сделать, «развернув» грани многогранника или мысленно спроецировав его на плоскость.
Шаг 1. Тетраэдр
Тетраэдр имеет 4 вершины и 6 рёбер. Каждая вершина соединена с каждой другой (полный граф K4).
Чтобы построить плоский изоморфный граф:
- Нарисуем треугольник — это будут три вершины тетраэдра, соединённые между собой.
- Четвёртую вершину поместим внутрь этого треугольника.
- Соединим внутреннюю вершину со всеми тремя вершинами внешнего треугольника.
Получившийся граф состоит из 4 вершин и 6 рёбер. Он является планарным (плоским), так как рёбра не пересекаются.
Шаг 2. Призма (треугольная)
В условии упоминается призма. Обычно в таких задачах подразумевается треугольная призма, если не указано иное, но куб также является призмой. Рассмотрим общую методику для призмы с основанием из n-угольника. Для треугольной призмы (n=3): 6 вершин, 9 рёбер.
Построение плоского графа:
- Нарисуем два треугольника один внутри другого. Они соответствуют верхнему и нижнему основаниям призмы.
- Соединим соответствующие вершины внешнего и внутреннего треугольников отрезками. Эти отрезки будут боковыми рёбрами.
Рёбра не пересекаются, граф планарный.
Шаг 3. Куб
Куб имеет 8 вершин и 12 рёбер. Каждой вершине соответствует степень 3.
Построение плоского графа:
- Нарисуем квадрат — это одно основание куба (например, нижнее).
- Внутри него нарисуем ещё один квадрат меньшего размера — это второе основание (верхнее).
- Соединим соответствующие углы внешнего и внутреннего квадратов отрезками. Эти отрезки представляют вертикальные рёбра куба.
Таким образом, мы получаем граф, состоящий из двух концентрических квадратов, связанных четырьмя радиальными отрезками. Все рёбра лежат в плоскости и не пересекаются.
а) Граф тетраэдра: треугольник с вершиной внутри, соединённой со всеми углами.
б) Граф призмы: два концентрических треугольника, соответствующие вершины которых соединены отрезками.
в) Граф куба: два концентрических квадрата, соответствующие вершины которых соединены отрезками.
Задача требует знания понятия изоморфизма графов и планарности. Изоморфные графы имеют одинаковое количество вершин и рёбер, а также одинаковые степени вершин. Планарный граф — это граф, который можно нарисовать на плоскости без пересечения рёбер. Многогранники всегда задают планарные графы (теорема Штейница). Стандартный способ построения такого графа — проекция одного из оснований внутрь другого.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 75 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 75?
Краткий ответ: а) Граф тетраэдра: треугольник с вершиной внутри, соединённой со всеми углами. б) Граф призмы: два концентрических треугольника, соответствующие вершины которых соединены отрезками. в) Граф куба: два концентрических квадрата, соответствующие вершины которых соединены отрезками.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математическая вертикаль: 10-11-е классы: углублённый уровень: учебник по вероятности и статистике для физико-математических классов; 1-е издание», Высоцкий И.Р., Ященко И.В.; под редакцией Ященко И.В.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: 11. Степени вершин графа. Эйлеровы пути и эйлеровы графы.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.