ГДЗ по вероятности и статистике, 7 класс, Высоцкий, номер 101

Рассмотрим числовой набор из n элементов. Для удобства анализа упорядочим все значения этого набора по возрастанию: x₁≤x₂≤…≤x_n.

По определению, медиана m — это такое значение в наборе, что не менее половины всех чисел набора меньше или равны m, и не менее половины всех чисел набора больше или равны m.

Важно отметить, что медиана всегда является одним из значений самого набора (или средним двух центральных значений, но в контексте школьной статистики для дискретных наборов чаще рассматривается конкретное значение из набора). Если мы говорим о значении m, которое является медианой, то оно входит в состав нашего упорядоченного ряда.

Пусть f_i — частота появления числа x_i в исходном неупорядоченном наборе. Сумма всех частот равна объёму выборки: ∑ki=1f_i=n, где k — количество различных значений в наборе.

Нам нужно рассмотреть сумму частот всех чисел, которые не больше медианы m. Обозначим эту сумму как S_≤m.

Так как ряд упорядочен по возрастанию, все элементы x_j, удовлетворяющие условию x_j≤m, образуют некоторую начальную часть упорядоченного списка (возможно, с пропусками, если есть повторяющиеся значения, большие m, но так как m — медиана, она стоит в центре).

Более строго: пусть N_≤m — количество элементов в наборе, которые меньше или равны m. Тогда сумма частот этих элементов равна именно этому количеству элементов, так как каждая единица частоты соответствует одному элементу набора. То есть S_≤m=N_≤m.

Вернемся к определению медианы. Медиана делит упорядоченный набор на две части так, чтобы:

• Количество элементов, меньших или равных медиане, составляло не менее половины от общего числа элементов n.
• Количество элементов, больших или равных медиане, составляло не менее половины от общего числа элементов n.

Математически это записывается так: N_≤m≥n/2.

Поскольку S_≤m (сумма частот чисел, не больших m) равна N_≤m (количеству таких чисел), получаем неравенство: S_≤m≥n/2.

В условии задачи речь идет о «сумме частот», которая составляет «не менее 0,5». В статистике под частотой часто понимают абсолютную частоту (количество раз), а под долей или относительной частотой — отношение абсолютной частоты к общему числу наблюдений (n).

Если в задаче подразумевается относительная частота (доля), то нам нужно разделить неравенство из Шага 3 на общее количество элементов n:

Если же в задаче используется термин «частота» в смысле абсолютного количества, то утверждение «составляет не менее 0,5» имело бы смысл только при нормировке на n. Однако стандартная формулировка «сумма частот ... составляет не менее 0,5» в школьном курсе вероятности и статистики обычно подразумевает сумму относительных частот (долей).

Давайте проверим логику для случая, когда «частота» означает долю. Пусть w_i=f_i/n — относительная частота значения x_i. Тогда сумма относительных частот всех значений, не больших m, равна:

Из определения медианы следует, что N_≤m≥n/2. Следовательно:

Пример 1 (нечетное количество элементов):

Набор: 1,2,3,4,5. n=5. Медиана m=3. Числа, не большие 3: 1,2,3. Их количество N_≤3=3. Сумма относительных частот: 3/5=0,6. 0,6≥0,5 — верно.

Пример 2 (четное количество элементов):

Набор: 1,2,3,4. n=4. Медиана может быть определена как любое значение между 2 и 3, но в дискретных задачах часто берут одно из центральных значений или их среднее. Если мы считаем медианой значение m=2 (левое центральное): Числа, не большие 2: 1,2. Количество N_≤2=2. Сумма относительных частот: 2/4=0,5. 0,5≥0,5 — верно.

Если мы считаем медианой значение m=3 (правое центральное): Числа, не большие 3: 1,2,3. Количество N_≤3=3. Сумма относительных частот: 3/4=0,75. 0,75≥0,5 — верно.

Пример 3 (повторяющиеся значения):

Набор: 1,1,2,2,2,3. n=6. Упорядоченный ряд: 1,1,2,2,2,3. Медиана находится между 3-м и 4-м элементом. Оба они равны 2. Значит, m=2. Числа, не большие 2: 1,1,2,2,2. Количество N_≤2=5. Сумма относительных частот: 5/6≈0,83. 0,83≥0,5 — верно.