ГДЗ по алгебре, 8 класс, Макарычев, номер 564: Квадратное уравнение и его корни

План решения:

Обозначим ширину листа через x см. Поскольку лист имеет размер 26×26 см, его длина также равна 26 см. По условию отрезали два квадрата со стороной, равной ширине листа, то есть сторона каждого квадрата равна x см.

Нам нужно составить уравнение для площади оставшейся части и решить его, учитывая геометрические ограничения задачи.

Вычисление:

1. Найдем площадь исходного листа картона:

S_листа =26·26=676 см²

2. Выразим площадь двух отрезанных квадратов. Площадь одного квадрата со стороной x равна x², значит, площадь двух таких квадратов равна 2x².

3. Составим уравнение. Оставшаяся часть имеет площадь 80 см². Это означает, что если из общей площади вычесть площадь отрезанных частей, получится 80:

676-2x²=80

4. Решим полученное квадратное уравнение относительно x:

2x²=676-80 2x²=596 x²=298 x=298≈17.26

Примечание к интерпретации условия: В стандартных задачах такого типа фраза «отрезали два квадрата» часто подразумевает, что эти квадраты вырезаются из углов или краев так, что они не перекрывают друг друга и их стороны лежат на границах листа. Однако результат 298 не является целым числом и не совпадает с ключом (5 и 8). Давайте проверим альтернативную формулировку, которая часто встречается в подобных задачах: возможно, имелось в виду, что ширина листа — это неизвестная величина x, а длина фиксирована? Нет, сказано «размером 26x26». Давайте внимательно перечитаем условие: «От листа... размером 26x26... отрезали два квадрата со стороной, равной ширине листа». Если ширина листа x, то и сторона квадратов x. Но лист квадратный, значит ширина равна длине и равна 26. Тогда x=26. Отрезали два квадрата 26×26. Их суммарная площадь 2·676=1352, что больше площади листа. Это невозможно. Скорее всего, в условии опечатка или нестандартная трактовка слова «ширина». Обычно в таких задачах речь идет о прямоугольном листе, где одна сторона известна, а другая — искомая. Или же «ширина листа» относится к размеру отрезаемых полос/квадратов, которые вырезаются из угла, но тогда почему лист 26x26? Попробуем другую логику, ведущую к ответам 5 и 8. Допустим, мы вырезаем два квадрата из углов листа 26×26. Пусть сторона квадрата x. Тогда оставшаяся площадь 26²-2x²=80⇒2x²=596⇒x²=298. Не подходит. А что если «два квадрата» означают, что мы отрезаем полосу шириной x и делаем из нее два квадрата? Нет. Рассмотрим вариант, когда лист не обязательно используется целиком по ширине для квадратов, или условие содержит скрытую неточность перевода/переписки. Ключ дает 5 и 8. Проверим, какое уравнение дает корни 5 и 8. Если x₁=5,x₂=8, то сумма корней 13, произведение 40. Уравнение x²-13x+40=0. Как получить такое уравнение из геометрии? Допустим, мы отрезаем два квадрата со стороной x от листа L×W. Оставшаяся площадь A. Если бы лист был прямоугольным, например, 13×13? 169-2x²=80⇒2x²=89. Нет. Давайте предположим, что в условии ошибка в числах или формулировке, и попробуем найти решение, которое математически корректно ведет к ответам 5 и 8 при изменении одной детали. Например, если бы площадь оставшейся части была другой. Или, если бы отрезали один квадрат? 676-x²=80⇒x²=596. Нет. Есть еще один частый тип задач: «От листа ... отрезали два одинаковых квадрата ... оставшаяся часть имеет площадь ...». Что если сторона квадратов не равна ширине листа, а ширина листа равна стороне квадратов? Это тавтология для квадрата 26x26. Возможно, имеется в виду, что лист имеет размер 26×x? То есть длина 26, ширина x. И отрезали два квадрата со стороной x (максимально возможной, чтобы поместиться в ширину). Тогда площадь листа 26x. Два квадрата занимают 2x². Оставшаяся площадь 26x-2x²=80. Решим это уравнение: 2x²-26x+80=0 Разделим на 2: x²-13x+40=0 По теореме Виета: x₁+x₂=13 x₁·x₂=40 Корни этого уравнения: x₁=5 и x₂=8. Это идеально совпадает с ключом! Вывод: В условии учебника допущена неточность формулировки. Фраза «размером 26 × 26 см» противоречит наличию решений 5 и 8 при стандартном понимании «отрезали два квадрата со стороной, равной ширине». Математическая модель, дающая ответы 5 и 8, предполагает, что лист имеет размер 26×x см (где 26 см — длина, x см — ширина), и от него отрезают два квадрата со стороной x (то есть ширина листа ограничивает размер квадратов). Мы будем решать задачу исходя из этой логической реконструкции, так как она единственная дает указанные в ключе ответы.

1. Обозначим ширину листа через x см. Длина листа равна 26 см.

2. Так как отрезают два квадрата со стороной, равной ширине листа, то сторона каждого квадрата равна x см.

3. Площадь исходного листа: S_общ =26·x=26x см².

4. Площадь двух отрезанных квадратов: S_отрез =2·x²=2x² см².

5. Площадь оставшейся части равна разности площадей:

26x-2x²=80

6. Приведем уравнение к стандартному виду:

2x²-26x+80=0 x²-13x+40=0

7. Найдем дискриминант:

D=(-13)²-4·1·40=169-160=9 D=3

8. Корни уравнения:

x₁=13-3/2=10/2=5 x₂=13+3/2=16/2=8

Оба корня положительны и меньше длины листа (26 см), поэтому оба являются допустимыми решениями.

Проверка:

Для x=5 см: Площадь листа 26·5=130 см². Площадь двух квадратов 2·5²=2·25=50 см². Оставшаяся площадь 130-50=80 см². Верно.

Для x=8 см: Площадь листа 26·8=208 см². Площадь двух квадратов 2·8²=2·64=128 см². Оставшаяся площадь 208-128=80 см². Верно.

Чертеж в масштабе 1:2:

Масштаб 1:2 означает, что 1 см на чертеже соответствует 2 см в реальности. Случай 1: Ширина 5 см. Реальные размеры листа: 26×5 см. Размеры на чертеже: 13×2.5 см. Отрезаемые квадраты: реальный размер 5×5 см, на чертеже 2.5×2.5 см. Нужно нарисовать прямоугольник 13×2.5 см и отметить в нем два квадрата со стороной 2.5 см (например, в углах или рядом).

Случай 2: Ширина 8 см. Реальные размеры листа: 26×8 см. Размеры на чертеже: 13×4 см. Отрезаемые квадраты: реальный размер 8×8 см, на чертеже 4×4 см. Нужно нарисовать прямоугольник 13×4 см и отметить в нем два квадрата со стороной 4 см.