9 класс Уравнения с одной переменной § 5. Уравнения с одной переменной

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 251: Уравнения с одной переменной

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Илья Морозов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 250 252 →

Условие

Знаменатель обыкновенной дроби больше её числителя на 3. Если числитель дроби увеличить в 3 раза, а затем уменьшить на 7, а знаменатель увеличить в 2 раза, а затем уменьшить на 11, то получится дробь, обратная данной. Найдите эту дробь.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Обозначим числитель дроби через x, тогда знаменатель будет равен x+3 (так как он больше числителя на 3).
Запишем исходную дробь: x/x+3.
Составим выражения для нового числителя и нового знаменателя согласно условиям задачи.
Используем условие о том, что новая дробь является обратной к данной, чтобы составить уравнение.
Решим полученное уравнение и проверим полученные значения.

Вычисление:

Пусть числитель дроби равен x. Тогда знаменатель равен x+3. Исходная дробь имеет вид x/x+3.
Новый числитель: увеличиваем x в 3 раза и уменьшаем на 7. Получаем 3x-7.
Новый знаменатель: увеличиваем (x+3) в 2 раза и уменьшаем на 11. Получаем 2(x+3)-11=2x+6-11=2x-5.
Новая дробь равна 3x-7/2x-5.
По условию эта дробь обратная данной. Дробь, обратная x/x+3, равна x+3/x.
Составляем уравнение: 3x-7/2x-5=x+3/x
Решаем пропорцию методом перекрёстного умножения (при условии x≠0 и 2x-5≠0): x(3x-7)=(2x-5)(x+3) 3x²-7x=2x²+6x-5x-15 3x²-7x=2x²+x-15 Переносим все члены в левую часть: 3x²-2x²-7x-x+15=0 x²-8x+15=0
Находим корни квадратного уравнения по теореме Виета или дискриминанту. Дискриминант D=(-8)²-4·1·15=64-60=4. x₁=8+2/2=5 x₂=8-2/2=3

Проверка:

Если x=5: Числитель 5, знаменатель 5+3=8. Дробь 5/8. Новый числитель: 3·5-7=8. Новый знаменатель: 2·5-5=5. Новая дробь 8/5. 8/5 действительно обратно 5/8. Значение подходит.
Если x=3: Числитель 3, знаменатель 3+3=6. Дробь 3/6. Новый числитель: 3·3-7=2. Новый знаменатель: 2·3-5=1. Новая дробь 2/1=2. Дробь, обратная 3/6, это 6/3=2. Значение также подходит.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ

а) 5/8

б) 3/6

В задаче получаются два корня, оба удовлетворяют условиям задачи (знаменатели не обращаются в ноль). Ключ содержит оба варианта ответа.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 251 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 251?

Краткий ответ: а) 58 б) 36.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. Уравнения с одной переменной.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.