ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 254: Уравнения с одной переменной

Для решения задачи составим математическую модель движения. Обозначим искомую скорость велосипедиста через x км/ч. Тогда скорость мотоциклиста будет на 20 км/ч больше, то есть (x+20) км/ч.

Время, затраченное на путь в 80 км, вычисляется по формуле t=S/v.
Время велосипедиста: t₁=80/x часов.
Время мотоциклиста: t₂=80/x+20 часов.

По условию задачи велосипедист тратит на 2 часа больше, чем мотоциклист. Составим уравнение:
80/x-80/x+20=2

Решим полученное дробно-рациональное уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю x(x+20):
80(x+20)-80x/x(x+20)=2
Упростим числитель:
80x+1600-80x/x²+20x=2
1600/x²+20x=2

При условии, что x>0 (скорость не может быть отрицательной или нулевой), умножим обе части на знаменатель:
1600=2(x²+20x)
Разделим на 2:
800=x²+20x
Перенесем все слагаемые в одну сторону, получив квадратное уравнение:
x²+20x-800=0

Найдем корни уравнения через дискриминант:
D=b²-4ac=20²-4·1·(-800)=400+3200=3600
D=60
Корни уравнения:
x₁=-20+60/2=40/2=20
x₂=-20-60/2=-80/2=-40

Так как скорость не может быть отрицательной (x>0), отбрасываем корень x₂=-40.
Итак, скорость велосипедиста равна 20 км/ч.

Проверка:
Если скорость велосипедиста 20 км/ч, то время его пути: 80/20=4 ч.
Скорость мотоциклиста: 20+20=40 км/ч. Время его пути: 80/40=2 ч.
Разница во времени: 4-2=2 ч, что соответствует условию задачи.