9 класс Уравнения с одной переменной § 5. Уравнения с одной переменной

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 257: Уравнения с одной переменной

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Павел Лебедев, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 256 258 →

Условие

За 6 ч катер прошёл 36 км по течению реки и 48 км против течения. Какова скорость катера в стоячей воде, если скорость течения 3 км/ч?

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Обозначим искомую скорость катера в стоячей воде через x км/ч.
Выразим скорость катера по течению и против течения, используя заданную скорость течения (3 км/ч).
Составим уравнение на основе общего времени движения (6 ч), так как время равно отношению пути к скорости.

Вычисление:

Пусть x — собственная скорость катера. Тогда:

скорость по течению: x+3 км/ч;
скорость против течения: x-3 км/ч.

Время движения по течению составляет 36/x+3 часов, а против течения — 48/x-3 часов. По условию сумма этих времен равна 6 часам:

36/x+3+48/x-3=6

Разделим обе части уравнения на 6, чтобы упростить вычисления:

6/x+3+8/x-3=1

Приведем дроби к общему знаменателю (x+3)(x-3) или умножим всё уравнение на этот знаменатель (при условии x≠3):

6(x-3)+8(x+3)=(x+3)(x-3)

Раскроем скобки:

6x-18+8x+24=x²-9 14x+6=x²-9

Перенесем все слагаемые в правую часть и получим квадратное уравнение:

x²-14x-15=0

По теореме Виета корни уравнения таковы, что их произведение равно -15, а сумма равна 14. Подходящие числа: 15 и -1.

Так как скорость не может быть отрицательной, отбрасываем корень x=-1. Остается x=15.

Проверка:

Если скорость катера 15 км/ч, то:

по течению скорость 15+3=18 км/ч, время 36/18=2 ч;
против течения скорость 15-3=12 км/ч, время 48/12=4 ч;
общее время 2+4=6 ч, что совпадает с условием задачи.

Ответ

15 км/ч

Задача решается составлением рационального уравнения. Важно проверить область допустимых значений (ОДЗ): x>3, так как скорость против течения должна быть положительной. Корень x=15 удовлетворяет этому условию.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 257 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 257?

Краткий ответ: 15 км/ч.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: § 5. Уравнения с одной переменной.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.