9 класс Задачи повышенной трудности

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 860: Задачи повышенной трудности

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Юлия Громова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 859 861 →

Условие

Решите систему уравнений: x+xy+y=5; y+yz+z=11; z+zx+x=7.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим систему уравнений:

{nx+xy+y=5y+yz+z=11z+zx+x=7

План решения.

Заметим, что левые части уравнений можно преобразовать, добавив к обеим частям единицу. Это позволит разложить выражения на множители по формуле (a+1)(b+1)=ab+a+b+1. После этого введем новые переменные для упрощения системы.

Вычисление.

Преобразуем каждое уравнение:

Первое уравнение: x+xy+y=5. Прибавим 1 к обеим частям: xy+x+y+1=6implies(x+1)(y+1)=6
Второе уравнение: y+yz+z=11. Прибавим 1 к обеим частям: yz+y+z+1=12implies(y+1)(z+1)=12
Третье уравнение: z+zx+x=7. Прибавим 1 к обеим частям: zx+z+x+1=8implies(z+1)(x+1)=8

Обозначим a=x+1, b=y+1, c=z+1. Тогда система примет вид:

{nab=6bc=12ac=8

Умножим все три уравнения между собой:

(ab)(bc)(ac)=6·12·8 a²b²c²=576 (abc)²=576 abc=±24

Рассмотрим два случая.

Случай 1: abc=24. Найдем a,b,c:

c=abc/ab=24/6=4
a=abc/bc=24/12=2
b=abc/ac=24/8=3

Вернемся к исходным переменным:

x=a-1=2-1=1
y=b-1=3-1=2
z=c-1=4-1=3

Получаем решение (1;2;3).

Случай 2: abc=-24. Аналогично найдем a,b,c:

c=-24/6=-4
a=-24/12=-2
b=-24/8=-3

Вернемся к исходным переменным:

x=-2-1=-3
y=-3-1=-4
z=-4-1=-5

Получаем решение (-3;-4;-5).

Проверка.

Подставим первое решение (1;2;3) в исходную систему:

1+1·2+2=1+2+2=5 (верно)
2+2·3+3=2+6+3=11 (верно)
3+3·1+1=3+3+1=7 (верно)

Подставим второе решение (-3;-4;-5) в исходную систему:

-3+(-3)(-4)+(-4)=-3+12-4=5 (верно)
-4+(-4)(-5)+(-5)=-4+20-5=11 (верно)
-5+(-5)(-3)+(-3)=-5+15-3=7 (верно)

Ответ

(1; 2; 3), (-3; -4; -5)

Использован метод замены переменных через дополнение до произведения двучленов.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 860 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 860?

Краткий ответ: (1; 2; 3), (-3; -4; -5).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.