ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 862: Задачи повышенной трудности
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Вера Лапина, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что при любом a выполняется неравенство 1/3 <= (a2-/a+1)a+1) <= 3.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для доказательства двойного неравенства 1/3≤a2-a+1/a2+a+1≤3 разобьем задачу на две части: доказательство левой и правой границ. Заметим, что знаменатель a2+a+1 всегда положителен для любого действительного a, так как его дискриминант D=12-4·1·1=-3<0, а старший коэффициент положительный. Это позволяет нам умножать обе части неравенств на знаменатель без изменения знака неравенства.
Доказательство левой части: 1/3≤a2-a+1/a2+a+1.
- Умножим обе части на 3(a2+a+1) (это число строго больше нуля): a2+a+1≤3(a2-a+1)
- Раскроем скобки в правой части: a2+a+1≤3a2-3a+3
- Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить квадратное выражение, сравнимое с нулем: 0≤3a2-a2-3a-a+3-1 0≤2a2-4a+2
- Разделим обе части на 2: 0≤a2-2a+1
- Заметим, что левая часть является полным квадратом: 0≤(a-1)2
- Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому это неравенство верно при любом a. Следовательно, исходная левая часть доказана.
Доказательство правой части: a2-a+1/a2+a+1≤3.
- Умножим обе части на (a2+a+1) (положительное число): a2-a+1≤3(a2+a+1)
- Раскроем скобки в правой части: a2-a+1≤3a2+3a+3
- Перенесем все слагаемые в правую часть: 0≤3a2-a2+3a+a+3-1 0≤2a2+4a+2
- Разделим обе части на 2: 0≤a2+2a+1
- Левая часть также является полным квадратом: 0≤(a+1)2
- Это неравенство верно при любом действительном a. Следовательно, правая часть доказана.
Вывод: Поскольку обе части двойного неравенства свелись к верным утверждениям вида (a±1)2≥0, то исходное неравенство 1/3≤a2-a+1/a2+a+1≤3 выполняется при любом значении a.
Неравенство доказано.
Задача требует аккуратной работы со знаком при умножении неравенств. Ключевой момент — проверка знака знаменателя a2+a+1. Так как он всегда положителен, мы можем домножить на него, не меняя знак неравенства. Далее задача сводится к выделению полного квадрата.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 862 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 862?
Краткий ответ: Неравенство доказано.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.