ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 861: Задачи повышенной трудности
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Юлия Громова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Найдите значение m, при котором корни уравнения x3-9x2+mx-15=0 образуют арифметическую прогрессию.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для решения этой задачи воспользуемся свойствами корней кубического уравнения и определением арифметической прогрессии. Пусть корни уравнения x3-9x2+mx-15=0 равны x1, x2 и x3. По условию они образуют арифметическую прогрессию.
Согласно теореме Виета для кубического уравнения ax3+bx2+cx+d=0, сумма корней равна -b/a. В нашем случае a=1, b=-9, поэтому:
x1+x2+x3=--9/1=9Так как числа x1,x2,x3 образуют арифметическую прогрессию, то средний член равен полусумме крайних: x2=x1+x3/2, или x1+x3=2x2. Подставим это в выражение для суммы корней:
x1+x2+x3=(x1+x3)+x2=2x2+x2=3x2Приравниваем полученное значение к сумме из теоремы Виета:
3x2=9impliesx2=3Мы нашли один из корней — он равен 3. Поскольку x2 является корнем уравнения, подставим его в исходное уравнение, чтобы найти коэффициент m:
33-9·32+m·3-15=0Вычислим значения степеней и произведений:
27-9·9+3m-15=027-81+3m-15=0Сгруппируем числовые слагаемые:
(27-81-15)+3m=0-69+3m=0Решаем линейное уравнение относительно m:
3m=69m=69/3=23Проверка. Если m=23, уравнение принимает вид x3-9x2+23x-15=0. Мы знаем, что x=3 — корень. Разделим многочлен на (x-3) методом деления уголком или схемой Горнера, чтобы найти остальные корни.
| 1 | -9 | 23 | -15 | |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 1 | -6 | 5 | 0 |
Остаток равен 0, значит, деление прошло успешно. Получаем квадратное уравнение x2-6x+5=0. Его корни находятся по теореме Виета (x1+x2=6,x1x2=5): это числа 1 и 5.
Корни уравнения: 1,3,5. Проверим, образуют ли они арифметическую прогрессию: разность между соседними членами 3-1=2 и 5-3=2. Разности равны, условие выполнено.
m=23
Использована теорема Виета для нахождения среднего члена арифметической прогрессии среди корней кубического уравнения. Затем этот корень подставлен в уравнение для нахождения параметра m. Проведена проверка через нахождение всех корней.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 861 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 861?
Краткий ответ: m = 23.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.