ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 865: Задачи повышенной трудности
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Никита Ершов, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Последовательности (y_n) и (x_n) заданы формулами yn=n2 и xn=2n-1. Выпишите в порядке возрастания все их общие члены, получится последовательность (c_n). Напишите формулу n-го члена последовательности (c_n).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
1. Проанализируем условия принадлежности числа к обеим последовательностям.
2. Выпишем первые несколько членов каждой последовательности и найдём общие.
3. Выведем общую формулу для n-го члена новой последовательности (cn).
Вычисление:
Даны две последовательности: yn=n2 (квадраты натуральных чисел) и xn=2n-1 (нечётные натуральные числа).
Число является общим членом этих последовательностей, если оно одновременно является квадратом натурального числа и нечётным числом.
Рассмотрим квадраты натуральных чисел по порядку:
- 12=1. Число 1 — нечётное (1=2·1-1). Это общий член.
- 22=4. Число 4 — чётное. Не подходит.
- 32=9. Число 9 — нечётное (9=2·5-1). Это общий член.
- 42=16. Число 16 — чётное. Не подходит.
- 52=25. Число 25 — нечётное (25=2·13-1). Это общий член.
Заметим закономерность: квадрат натурального числа k2 будет нечётным тогда и только тогда, когда само основание k нечётно. Если k чётно, то k=2m, и k2=4m2 — чётное число. Если k нечётно, то k=2m-1, и его квадрат также нечётен.
Таким образом, общие члены образуются из квадратов нечётных натуральных чисел. Выпишем их в порядке возрастания:
c1=12=1 c2=32=9 c3=52=25 c4=72=49Основания этих квадратов (1,3,5,7,…) сами являются членами последовательности нечётных чисел, которую можно задать формулой ak=2k-1, где k — номер общего члена в последовательности (cn).
Следовательно, n-й член последовательности (cn) равен квадрату n-го нечётного числа:
cn=(2n-1)2Проверка:
Подставим значения n в полученную формулу:
При n=1: c1=(2·1-1)2=12=1. Верно.
При n=2: c2=(2·2-1)2=32=9. Верно.
При n=3: c3=(2·3-1)2=52=25. Верно.
Формула корректно описывает все общие члены.
cn=(2n-1)2
Общие члены последовательностей y_n=n^2 и x_n=2n-1 — это нечётные квадраты. Нечётный квадрат получается возведением в квадрат нечётного числа. N-е нечётное число равно 2n-1. Следовательно, n-й общий член равен (2n-1)^2.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 865 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 865?
Краткий ответ: c_n = (2n - 1)^2.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.