ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 867: Задачи повышенной трудности
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Анна Соколова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Найдите сумму первых n членов последовательности (x_n), если xn=1 / ((2n - 1)(2n + 1)).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для нахождения суммы первых n членов последовательности воспользуемся методом разложения на простейшие дроби (метод телескопической суммы).
Рассмотрим общий член последовательности: xn=1/(2n-1)(2n+1)
Представим этот дробь в виде разности двух дробей. Пусть 1/(2n-1)(2n+1)=A/2n-1+B/2n+1 Приведем правую часть к общему знаменателю: A(2n+1)+B(2n-1)/(2n-1)(2n+1)=(2A+2B)n+(A-B)/(2n-1)(2n+1) Приравниваем числители: 1=(2A+2B)n+(A-B) Отсюда получаем систему уравнений: {2A+2B=0A-B=1 Из первого уравнения следует A=-B. Подставляем во второе: -B-B=1⇒-2B=1⇒B=-1/2, тогда A=1/2.
Таким образом, общий член можно переписать как: xn=1/2(1/2n-1-1/2n+1)
Теперь найдем сумму первых n членов Sn: Sn=x1+x2+x3+…+xn Подставим разложение для каждого слагаемого: Sn=1/2[(1/1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7)+…+(1/2n-1-1/2n+1)] В скобках происходит взаимное уничтожение соседних членов (телескопическая сумма): остаются только первое и последнее слагаемые: Sn=1/2(1-1/2n+1)
Упростим полученное выражение: Sn=1/2·2n+1-1/2n+1=1/2·2n/2n+1=n/2n+1
n/(2n+1)
Задача решается стандартным методом телескопических сумм. Ключ совпадает с результатом вычислений.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 867 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 867?
Краткий ответ: n(2n + 1).
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.