ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 871: Задачи повышенной трудности
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Дмитрий Орлов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Пусть a_1, a_2, ... — арифметическая прогрессия с положительными членами. Докажите, что сумма первых n членов последовательности (xₙ), где xₙ = 1/(aₙ+aₙ₊₁), равна n/(a1+aₙ₊₁).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Для доказательства тождества необходимо упростить общий член последовательности xn. Поскольку в знаменателе находится сумма корней, применим метод сопряжения (умножение числителя и знаменателя на разность корней). После этого воспользуемся свойством арифметической прогрессии для сокращения выражения и вычислим сумму первых n членов полученной телескопической суммы.
Вычисление.
Рассмотрим общий член последовательности:
xn=1/an+an+1Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение (an+1-an):
xn=an+1-an/(an+1+an)(an+1-an)=an+1-an/an+1-anТак как a1,a2,… — арифметическая прогрессия с разностью d, то по определению an+1-an=d. Подставим это в знаменатель:
xn=an+1-an/dТеперь найдём сумму первых n членов последовательности Sn=x1+x2+…+xn:
Sn=∑nk=1ak+1-ak/d=1/d((a2-a1)+(a3-a2)+…+(an+1-an))Это телескопическая сумма: все промежуточные члены взаимно уничтожаются (a2 сокращается с -a2, a3 с -a3 и т.д.). Остаются только первый и последний члены:
Sn=1/d(an+1-a1)Нам нужно доказать, что эта сумма равна n/a1+an+1. Преобразуем полученное выражение Sn, умножив числитель и знаменатель дроби an+1-a1/d на сопряжённое к числителю, то есть на (an+1+a1):
Sn=(an+1-a1)(an+1+a1)/d(an+1+a1)=an+1-a1/d(an+1+a1)Вспомним формулу n-го члена арифметической прогрессии: an+1=a1+n·d. Отсюда следует, что an+1-a1=n·d. Подставим это в числитель:
Sn=n·d/d(an+1+a1)Сократим на d (так как члены прогрессии положительны, d может быть нулём или не нулём, но если d=0, то исходная сумма равна n/a1, а правая часть тоже n/(2a1)? Нет, при d=0 знаменатель исходного xn равен 2a1, сумма n/(2a1). Правая часть задачи: n/(a1+a1)=n/(2a1). Совпадает. Если d≠0, сокращаем):
Sn=n/a1+an+1Что и требовалось доказать.
Проверка.
Проверим утверждение на простом примере. Пусть an=n (арифметическая прогрессия с a1=1,d=1).
- Левая часть: xk=1/k+k+1. Сумма первых двух членов (n=2): x1+x2=1/1+2+1/2+3=(2-1)+(3-2)=3-1
- Правая часть по формуле из условия: n/a1+an+1=2/1+3=2/1+3 Умножим числитель и знаменатель на (3-1): 2(3-1)/3-1=2(3-1)/2=3-1
Значения совпадают, доказательство верно.
Доказано: Sn=n/a1+an+1
Задача требует знания свойств арифметической прогрессии и метода рационализации (сопряжения) дробей с корнями. Ключевой момент — переход от суммы дробей к телескопической сумме после выделения разности квадратов в знаменателе.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 871 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 871?
Краткий ответ: Доказано: S_n = n√a_1 + a_n+1.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.