ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 874: Задачи повышенной трудности
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Надежда Фомина, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Три целых числа составляют арифметическую прогрессию с первым членом 1. Если ко второму члену прибавить 3, а третий возвести в квадрат, получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Обозначим члены арифметической прогрессии через a1, a2 и a3. По условию a1=1.
- Выразим остальные члены через разность прогрессии d: a2=1+d, a3=1+2d.
- Составим новое последовательность из преобразованных чисел: первый член остался прежним (1), второй стал a2+3, третий стал a23.
- Используем свойство геометрической прогрессии (квадрат среднего члена равен произведению крайних) для нахождения d.
- Проверим целочисленность результатов и соответствие условию.
Вычисление:
Пусть разность арифметической прогрессии равна d. Тогда её члены:
a1=1 a2=1+d a3=1+2dПо условию задачи, если ко второму члену прибавить 3, а третий возвести в квадрат, получится геометрическая прогрессия. Запишем члены этой новой прогрессии:
b1=a1=1 b2=a2+3=(1+d)+3=4+d b3=a23=(1+2d)2Для трёх членов геометрической прогрессии справедливо соотношение b22=b1·b3. Подставим выражения:
(4+d)2=1·(1+2d)2Раскроем скобки:
16+8d+d2=1+4d+4d2Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно d:
4d2-d2+4d-8d+1-16=0 3d2-4d-15=0Найдём дискриминант:
D=(-4)2-4·3·(-15)=16+180=196 D=14Корни уравнения:
d1=4+14/6=18/6=3 d2=4-14/6=-10/6=-5/3По условию числа должны быть целыми . Разность d=-5/3 не подходит, так как при ней a2 и a3 не будут целыми числами. Следовательно, единственно возможный вариант — d=3.
Найдём исходные числа арифметической прогрессии:
a1=1 a2=1+3=4 a3=1+2·3=7Проверка:
- Числа 1, 4, 7 составляют арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 3. Все они целые.
- Преобразуем их согласно условию:
- Первый член: 1.
- Второй член: 4+3=7.
- Третий член: 72=49.
- Проверим, образуют ли числа 1, 7, 49 геометрическую прогрессию:
- Знаменатель прогрессии q=7/1=7.
- Проверяем следующий член: 7·7=49. Совпадает.
Ответ верен.
1, 4, 7
Краткий ответ сверен с разделом «Ответы» учебника.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 874 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 874?
Краткий ответ: 1, 4, 7.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.