9 класс Задачи повышенной трудности

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 872: Задачи повышенной трудности

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Артём Савельев, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 871 873 →

Условие

Докажите, что если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то его высоты также образуют геометрическую прогрессию.

Треугольник

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Запишем формулы для площадей треугольника через стороны и соответствующие им высоты.
Выразим высоты через площадь и стороны.
Используем условие того, что стороны образуют геометрическую прогрессию, чтобы доказать аналогичное свойство для высот.

Ход доказательства:

Пусть стороны треугольника равны a, b и c. По условию они образуют геометрическую прогрессию. Это означает, что квадрат среднего члена равен произведению крайних членов:

b²=a·c

Обозначим площади треугольника как S. Высота, опущенная на сторону a, обозначается h_a, на сторону b — h_b, на сторону c — h_c. Из формулы площади треугольника S=1/2ah_a выразим высоты:

h_a=2S/a, h_b=2S/b, h_c=2S/c

Чтобы проверить, образуют ли высоты геометрическую прогрессию, нужно убедиться, что выполняется равенство:

h2b=h_a·h_c

Подставим выражения для высот в левую часть этого равенства:

h2b=(2S/b)²=4S²/b²

Теперь подставим выражения для высот в правую часть:

h_a·h_c=2S/a·2S/c=4S²/ac

Сравним полученные результаты. Нам дано, что b²=ac. Следовательно, знаменатели дробей 4S²/b² и 4S²/ac равны между собой. Значит:

4S²/b²=4S²/acimpliesh2b=h_a·h_c

Вывод:

Так как квадрат средней высоты равен произведению двух других высот, то высоты h_a, h_b, h_c также образуют геометрическую прогрессию. Что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано: если b²=ac, то h2b=h_ah_c, следовательно, высоты образуют геометрическую прогрессию.

Ключевой момент — связь между сторонами и высотами через постоянную площадь. Если стороны растут (или убывают) в геометрической прогрессии с коэффициентом q, то обратные им величины (высоты) будут образовывать геометрическую прогрессию с коэффициентом 1/q.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 872 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 872?

Краткий ответ: Доказано: если b^2=ac, то h_b^2=h_a h_c, следовательно, высоты образуют геометрическую прогрессию.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.