ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 873: Задачи повышенной трудности

План решения:

• Обозначим три различных целых числа геометрической прогрессии как b₁, b₂, b₃.
• Используем свойство геометрической прогрессии: квадрат среднего члена равен произведению крайних (b22=b₁·b₃).
• Запишем условие суммы: b₁+b₂+b₃=-3.
• Выразим b₁ и b₃ через b₂ и знаменатель прогрессии q, либо подберём целые делители, удовлетворяющие условиям.

Вычисление:

Пусть числа в прогрессии имеют вид a/q,a,aq, где a — средний член, а q — рациональное число (так как числа целые). Однако проще использовать свойство b₁b₃=b22.

Из условия b₁+b₂+b₃=-3 выразим сумму крайних членов: b₁+b₃=-3-b₂.

Так как b₁ и b₃ являются корнями квадратного уравнения относительно x: x²-(b₁+b₃)x+b₁b₃=0 то есть x²-(-3-b₂)x+b22=0 x²+(3+b₂)x+b22=0

Для того чтобы корни b₁ и b₃ были действительными числами, дискриминант должен быть неотрицательным: D=(3+b₂)²-4b22≥0 9+6b₂+b22-4b22≥0 -3b22+6b₂+9≥0 Разделим на -3 (знак неравенства меняется): b22-2b₂-3≤0(b_2 - 3)(b_2 + 1) \le 0</p><p>Отсюда получаем диапазон для среднего члена $b₂$:-1 \le b_2 \le 3$</p><p>Так как числа <em>целые</em>, переберём возможные значенияb_2из этого диапазона:-1, 0, 1, 2, 3.</p><ol><li>Еслиb_2 = -1: Уравнение x^{2} + (3-1)x + (-1)^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} + 2x + 1 = 0. Корни x_1=x_2=-1. Числа:-1, -1, -1. Но по условию числа должны быть <strong>различными</strong>. Этот вариант не подходит.</li><li>Еслиb_2 = 0: Уравнение x^{2} + 3x = 0. Корни0, -3. Прогрессия:-3, 0, 0или0, 0, -3. В геометрической прогрессии с нулевым членом все последующие члены равны нулю. Если один член 0, то другие тоже 0(или прогрессия вырождена). Здесь b_1=0, b_3=-3не образуют ГП с b_2=0, так как\frac{0}{(-3)}=0, но-\frac{3}{0}не определено. Или если порядок-3, 0, 0, то знаменатель q=0, тогда следующий член0\cdot0=0. Но обычно в школьном курсе рассматривают ненулевые члены или проверяют определение. Проверим:0^{2} = (-3)\cdot0 \Rightarrow 0=0. Сумма-3+0+0=-3. Но числа не различны (два нуля). Не подходит.</li><li>Еслиb_2 = 1: Уравнение x^{2} + 4x + 1 = 0. Дискриминант16-4=12. Корни иррациональные. Не подходят (нужны целые).</li><li>Еслиb_2 = 2: Уравнение x^{2} + 5x + 4 = 0. Корни: x_1 = -1, x_2 = -4. Тогда тройка чисел может быть-1, 2, -4или-4, 2, -1. Проверим, является ли это геометрической прогрессией.<br>Вариант А:-1, 2, -4. Знаменатель q = \frac{2}{(-1)} = -2. Следующий член:2 \cdot (-2) = -4. Совпадает. Числа различны:-1, 2, -4. Сумма:-1+2-4 = -3. Подходит.<br>Вариант Б:-4, 2, -1. Знаменатель q = \frac{2}{(-4)} = -0.5. Следующий член:2 \cdot (-0.5) = -1. Совпадает. Числа различны:-4, 2, -1. Сумма:-4+2-1 = -3. Это та же самая тройка чисел, просто записанная в обратном порядке (обратная прогрессия). В задачах «найдите эти числа» часто подразумевается набор чисел, но иногда важен порядок. Обычно ответ дают через запятую как множество или упорядоченную тройку. Так как прогрессия направлена, оба варианта верны как разные прогрессии.</li><li>Еслиb_2 = 3: Уравнение x^{2} + 6x + 9 = 0. Корень x=-3(двойной). Числа:-3, 3, -3. Не различны. Не подходит.</li></ol><p><strong>Проверка:</strong></p><p>Найденные числа:-1, 2, -4.<br>1. Целые? Да.<br>2. Различные? Да (-1 \neq 2 \neq -4).<br>3. Геометрическая прогрессия?2 : (-1) = -2;(-4) : 2 = -2. Знаменатель постоянен. Да.<br>4. Сумма равна -3?-1 + 2 + (-4) = 1 - 4 = -3. Да.</p><p>Также подходит обратная последовательность-4, 2, -1со знаменателем-\frac{1}{2}$.