ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 869: Задачи повышенной трудности
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Вера Лапина, методист по алгебре Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Дана линейная функция y=f(x) и арифметическая прогрессия x_1, x_2, x_3, ... Нужно доказать, что последовательность значений функции f(x_1), f(x_2), ... также является арифметической прогрессией.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения:
- Запишем общий вид линейной функции y=kx+b.
- Выразим члены последовательности значений функции через аргументы прогрессии.
- Проверим выполнение признака арифметической прогрессии для полученной последовательности (постоянство разности).
Ход вычислений и доказательство:
Пусть дана линейная функция f(x)=kx+b, где k и b — некоторые числа (k≠0).
Так как x1,x2,x3,… является арифметической прогрессией, то по определению существует такое число d (разность прогрессии), что для любого натурального n выполняется равенство:
xn+1-xn=dРассмотрим последовательность значений функции: y1,y2,y3,…, где yn=f(xn).
Подставим аргументы в формулу функции:
yn=kxn+b yn+1=kxn+1+bЧтобы доказать, что последовательность yn также является арифметической прогрессией, нужно показать, что разность между соседними членами этой последовательности постоянна. Вычислим эту разность:
yn+1-yn=(kxn+1+b)-(kxn+b)Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
yn+1-yn=kxn+1+b-kxn-b yn+1-yn=kxn+1-kxn yn+1-yn=k(xn+1-xn)Вспомним, что xn+1-xn=d (так как исходная последовательность — арифметическая прогрессия). Подставим это значение:
yn+1-yn=k·dЧисла k и d являются фиксированными константами, не зависящими от номера члена n. Следовательно, разность yn+1-yn постоянна для всех n.
Проверка и вывод:
По определению, если разность между каждым членом последовательности и предыдущим членом есть величина постоянная, то такая последовательность называется арифметической прогрессией.
Мы показали, что для последовательности f(x1),f(x2),… эта разность равна kd. Таким образом, утверждение доказано.
Доказано: разность последовательности значений функции равна произведению коэффициента наклона прямой на разность исходной прогрессии (kd=const), следовательно, новая последовательность является арифметической прогрессией.
В задаче требуется формальное доказательство. Ключевой момент — использование определения арифметической прогрессии через разность соседних членов. Линейная функция сохраняет структуру прогрессии, масштабируя её шаг.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 869 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 869?
Краткий ответ: Доказано: разность последовательности значений функции равна произведению коэффициента наклона прямой на разность исходной прогрессии (kd = const), следовательно, новая последовательность является арифметической прогрессией.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.