ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 870: Задачи повышенной трудности

План решения:

1. Обозначим члены арифметической прогрессии через a_1,a_2,a_3,a₄ и разность прогрессии через d. Так как все числа целые, то a₁ и d — целые числа.
2. Выразим остальные члены через первый член и разность: a₂=a₁+d, a₃=a₁+2d, a₄=a₁+3d.
3. Проанализируем условие «наибольший член равен сумме квадратов трёх остальных». Поскольку сумма квадратов неотрицательна (≥0), наибольший член должен быть неотрицательным. Рассмотрим случаи для знака разности d (возрастающая или убывающая прогрессия).

Вычисление:

Случай 1: Прогрессия возрастает (d>0). Тогда a₄ — наибольший член. Уравнение: a₄=a21+a22+a23. Подставим выражения через a₁ и d: a₁+3d=a21+(a₁+d)²+(a₁+2d)² Раскроем скобки в правой части: a₁+3d=a21+(a21+2a₁d+d²)+(a21+4a₁d+4d²) a₁+3d=3a21+6a₁d+5d² Перенесём всё в одну сторону: 3a21+6a₁d-a₁+5d²-3d=0 Это квадратное уравнение относительно a₁. Чтобы a₁ было целым числом, дискриминант этого уравнения должен быть полным квадратом. D_a1=(6d-1)²-4·3·(5d²-3d)=36d²-12d+1-60d²+36d=-24d²+24d+1 Так как d — натуральное число (d≥1), проверим значения: При d=1: D=-24+24+1=1=1². Дискриминант положительный и является квадратом. Найдём a₁: a₁=-(6(1)-1)±1/2·3=-5±1/6 Варианты: a₁=-4/6 (не целое) или a₁=-6/6=-1. Если a₁=-1,d=1, то прогрессия: -1,0,1,2. Проверка условия: Наибольший член a₄=2. Сумма квадратов остальных: (-1)²+0²+1²=1+0+1=2. Условие выполняется. При d=2: D=-24(4)+24(2)+1=-96+48+1=-47<0. Решений нет. При d≥2 дискриминант отрицателен, так как парабола -24d²+24d+1 убывает при d>0.5. Значит, других решений в этом случае нет.

Случай 2: Прогрессия убывает (d<0). Пусть d=-k, где k>0. Тогда a₁ — наибольший член. Уравнение: a₁=a22+a23+a24. a₂=a₁-k,a₃=a₁-2k,a₄=a₁-3k. a₁=(a₁-k)²+(a₁-2k)²+(a₁-3k)² a₁=3a21-12a₁k+14k² 3a21-(12k+1)a₁+14k²=0 Дискриминант по a₁: D=(12k+1)²-4·3·14k²=144k²+24k+1-168k²=-24k²+24k+1 Аналогично первому случаю, при k=1 (d=-1): D=1. a₁=(12(1)+1)±1/6=13±1/6 Варианты: a₁=14/6 (не целое) или a₁=12/6=2. Если a₁=2,d=-1, то прогрессия: 2,1,0,-1. Проверка: Наибольший член a₁=2. Сумма квадратов остальных: 1²+0²+(-1)²=1+0+1=2. Условие выполняется. Эта прогрессия отличается от первой только порядком членов (или знаком разности), но набор чисел тот же самый: -1,0,1,2.

Случай 3: Постоянная прогрессия (d=0). a₁=a₂=a₃=a₄=a. Условие: a=a²+a²+a²=3a². 3a²-a=0⇒a(3a-1)=0. Целочисленное решение только a=0. Прогрессия: 0,0,0,0. Проверка: Наибольший член 0. Сумма квадратов остальных: 0²+0²+0²=0. Условие выполняется.

Ответ:

Все возможные наборы членов прогрессии (с точностью до порядка следования): 1) -1,0,1,2 2) 0,0,0,0