ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 877: Задачи повышенной трудности
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Илья Морозов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Докажите, что если x2+y2+z2=xy+yz+zx, то x=y=z.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
План решения.
Чтобы доказать равенство переменных x=y=z, удобно преобразовать данное уравнение так, чтобы слева оказалась сумма квадратов разностей. Для этого умножим обе части исходного равенства на 2 и перенесём все члены в одну сторону. Затем сгруппируем полученные выражения в полные квадраты.
Вычисление.
Исходное условие:
x2+y2+z2=xy+yz+zxУмножим обе части на 2:
2x2+2y2+2z2=2xy+2yz+2zxПеренесём правую часть влево:
2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx=0Разобьём слагаемые 2x2,2y2,2z2 на пары (x2+x2, y2+y2, z2+z2) и перегруппируем их следующим образом:
(x2-2xy+y2)+(y2-2yz+z2)+(z2-2zx+x2)=0Заметим, что каждая скобка представляет собой формулу полного квадрата разности:
(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=0Проверка и вывод.
Сумма нескольких неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен ((a-b)2≥0), то для выполнения равенства выше необходимо одновременное выполнение трёх условий:
- (x-y)2=0⇒x-y=0⇒x=y
- (y-z)2=0⇒y-z=0⇒y=z
- (z-x)2=0⇒z-x=0⇒z=x
Из первых двух пунктов следует, что x=y и y=z. Следовательно, все три переменные равны между собой: x=y=z. Что и требовалось доказать.
Доказано: если x2+y2+z2=xy+yz+zx, то (x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=0, откуда x=y=z.
Ключевой приём — умножение на 2 и группировка в сумму квадратов разностей. Это стандартный метод для таких симметричных алгебраических тождеств.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 877 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 877?
Краткий ответ: Доказано: если x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx, то (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0, откуда x=y=z.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.