ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 881: Задачи повышенной трудности

План решения. Нам нужно доказать неравенство (a²+a+1)(b²+b+1)(c²+c+1)/abc≥27 для положительных чисел a,b,c. Заметим, что левая часть представляет собой произведение трёх одинаковых по структуре множителей, делённое на произведение переменных. Это можно переписать как произведение трёх дробей: (a²+a+1/a)·(b²+b+1/b)·(c²+c+1/c). Если мы докажем, что каждая из этих дробей не меньше 3, то их произведение будет не меньше 3·3·3=27, что и требуется.

Вычисление. Рассмотрим выражение для одной переменной, например, для a: a²+a+1/a=a²/a+a/a+1/a=a+1+1/a. Так как a>0, применим неравенство Коши (среднее арифметическое не меньше среднего геометрического) к двум положительным слагаемым a и 1/a: a+1/a≥2a·1/a=21=2. Прибавив к обеим частям единицу, получаем: a+1+1/a≥2+1=3. Таким образом, доказано, что a²+a+1/a≥3. Аналогично, для положительных b и c верно: b²+b+1/b≥3, c²+c+1/c≥3. Перемножим эти три неравенства (так как все части положительны, знак неравенства сохраняется): a²+a+1/a·b²+b+1/b·c²+c+1/c≥3·3·3. После приведения подобных слагаемых в левой части получаем исходное неравенство: (a²+a+1)(b²+b+1)(c²+c+1)/abc≥27.

Проверка. Равенство достигается тогда и только тогда, когда выполняется равенство в неравенстве Коши для каждой переменной, то есть когда a=1/a, b=1/b и c=1/c. Поскольку переменные положительны, это означает a=1,b=1,c=1. Подставим эти значения в исходное выражение: (1²+1+1)(1²+1+1)(1²+1+1)/1·1·1=3·3·3/1=27. Неравенство превращается в равенство 27≥27, что верно. Для других значений, например a=b=c=2, левая часть равна 7·7·7/8=343/8=42.875, что строго больше 27. Доказательство корректно.