9 класс Задачи повышенной трудности

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 883: Задачи повышенной трудности

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Екатерина Новикова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 882 884 →

Условие

Доказать, что выражение (5 + 10^(n+1))(1+10+...+10ⁿ)+1 является квадратом натурального числа.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Заметим, что сумма 1+10+…+10ⁿ является геометрической прогрессией. Её можно выразить через формулу суммы: S=10ⁿ⁺¹-1/9.
Подставим это выражение в исходную формулу и упростим алгебраические действия.
Покажем, что полученное выражение представляет собой полный квадрат бинома.

Вычисление:

Рассмотрим данное выражение:

A=(5+10ⁿ⁺¹)(1+10+…+10ⁿ)+1

Сумма в скобках — это сумма членов геометрической прогрессии с первым членом b₁=1, знаменателем q=10 и количеством членов n+1. По формуле суммы геометрической прогрессии:

1+10+…+10ⁿ=10ⁿ⁺¹-1/10-1=10ⁿ⁺¹-1/9

Подставим эту сумму обратно в выражение для A:

A=(5+10ⁿ⁺¹)·10ⁿ⁺¹-1/9+1

Приведём к общему знаменателю:

A=(5+10ⁿ⁺¹)(10ⁿ⁺¹-1)+9/9

Раскроем скобки в числителе. Обозначим x=10ⁿ⁺¹ для удобства записи. Тогда числитель равен:

(5+x)(x-1)+9=5x-5+x²-x+9=x²+4x+4

Мы получили квадратный трёхчлен, который является полным квадратом двучлена:

x²+4x+4=(x+2)²

Возвращаясь к переменной x=10ⁿ⁺¹, получаем:

A=(10ⁿ⁺¹+2)²/9

Так как 9=3², то:

A=(10ⁿ⁺¹+2/3)²

Чтобы доказать, что A является квадратом натурального числа, нужно убедиться, что основание степени 10ⁿ⁺¹+2/3 само является натуральным числом.

Проверка делимости:

Рассмотрим число 10ⁿ⁺¹+2. Заметим, что 10≡1pmod3. Следовательно, любая степень десятки также сравнима с 1 по модулю 3:

10ⁿ⁺¹≡1ⁿ⁺¹≡1pmod3

Тогда:

10ⁿ⁺¹+2≡1+2≡3≡0pmod3

Это означает, что 10ⁿ⁺¹+2 делится на 3 без остатка. Пусть k=10ⁿ⁺¹+2/3. Так как n≥0 (обычно подразумевается целое неотрицательное), то 10ⁿ⁺¹≥10, значит k>0. Таким образом, k — натуральное число.

Итак, мы доказали, что исходное выражение равно k², где k — натуральное число.

Ответ

Доказано: выражение равно (10ⁿ⁺¹+2/3)², где основание — натуральное число.

Задача требует знания формулы суммы геометрической прогрессии и свойств делимости. Ключевой момент — замена переменной или аккуратное раскрытие скобок, приводящее к полному квадрату (x+2)². Проверка того, что результат деления на 3 является целым числом, обязательна для строгого доказательства.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 883 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 883?

Краткий ответ: Доказано: выражение равно ( 10^n+1+23)^2, где основание — натуральное число.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.