9 класс Задачи повышенной трудности

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 886: Задачи повышенной трудности

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Илья Морозов, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 885 887 →

Условие

Найти два различных натуральных числа, если сумма четырёх результатов (их сложение, перемножение, разность большего и меньшего, частное большего и меньшего) равна 441.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Обозначим искомые натуральные числа как a и b, где a>b. Согласно условию задачи, нам нужно найти такие пары чисел, чтобы сумма четырёх результатов их взаимодействия равнялась 441.

Запишем эти четыре результата:

Сложение: a+b
Перемножение: a·b
Разность большего и меньшего: a-b
Частное большего и меньшего: a/b (так как частное должно быть результатом арифметического действия в контексте натуральных чисел для получения целого или конкретного значения, предположим, что деление нацело или результат входит в сумму как число)

Составим уравнение:

(a+b)+ab+(a-b)+a/b=441

Упростим левую часть. Заметим, что +b и -b взаимно уничтожаются:

a+ab+a+a/b=441 2a+ab+a/b=441

Вынесем общий множитель a за скобки:

a(2+b+1/b)=441

Так как a и b — натуральные числа, то выражение в скобках должно быть таким, чтобы произведение давало целое число 441. Это возможно только если 1/b является частью рационального числа, которое при умножении на a дает целый результат. Однако более простой путь — заметить, что для того, чтобы a/b было «чистым» слагаемым в сумме натуральных операций, обычно подразумевается, что частное также является натуральным числом (или задача допускает дробные промежуточные результаты, но итоговая сумма целая). Давайте переберем возможные значения b, так как b стоит в знаменателе.

Из уравнения a=441/2+b+1/b=441b/2b+b²+1=441b/(b+1)² следует, что (b+1)² должно делить 441b. Поскольку b и b+1 взаимно просты, (b+1)² должно делить 441.

Найдем делители числа 441. Разложим его на простые множители: 441=21²=(3·7)²=3²·7².

Полные квадраты, являющиеся делителями 441:

1²=1⇒b+1=1⇒b=0 (не подходит, так как b натуральное)
3²=9⇒b+1=3⇒b=2
7²=49⇒b+1=7⇒b=6
21²=441⇒b+1=21⇒b=20

Проверим каждый случай:

Случай 1: b=2

Подставим в формулу для a:

a=441·2/(2+1)²=882/9=98

Проверка суммы:

Сумма: 98+2=100
Произведение: 98·2=196
Разность: 98-2=96
Частное: 98/2=49
Итого: 100+196+96+49=441. Верно.

Пара: 98 и 2 .

Случай 2: b=6

Подставим в формулу для a:

a=441·6/(6+1)²=2646/49

Вычислим: 2646:49=54.

Проверка суммы:

Сумма: 54+6=60
Произведение: 54·6=324
Разность: 54-6=48
Частное: 54/6=9
Итого: 60+324+48+9=441. Верно.

Пара: 54 и 6 .

Случай 3: b=20

Подставим в формулу для a:

a=441·20/(20+1)²=8820/441=20

По условию числа должны быть различными . Здесь a=b=20, поэтому этот вариант не подходит.

Таким образом, мы нашли две подходящие пары различных натуральных чисел.

Ответ

а) 54 и 6

б) 98 и 2

В решении использован алгебраический подход: составлено уравнение из четырех действий, упрощено до вида a(b+1)^2 = 441b. Анализ делимости привел к перебору возможных значений b через полные квадраты делителей 441. Проверены все случаи, отброшен вариант с равными числами.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 886 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 886?

Краткий ответ: а) 54 и 6 б) 98 и 2.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.