ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 884: Задачи повышенной трудности
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Екатерина Новикова, методист по алгебре Шпаргача обновлено 8 сентября 2026
Условие
Найти наименьшее трёхзначное число, которое после умножения на 21 становится полным квадратом.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Чтобы найти наименьшее трёхзначное число x, которое после умножения на 21 становится полным квадратом, нужно проанализировать структуру этого произведения.
Пусть 21·x=k2 для некоторого натурального числа k. Разложим множитель 21 на простые: 21=3·7. Чтобы произведение было полным квадратом, все простые множители в его разложении должны встречаться в чётной степени. В числе 21 множители 3 и 7 стоят в первой степени (нечётной). Следовательно, чтобы компенсировать их до чётных степеней, число x должно содержать как минимум один множитель 3 и один множитель 7. То есть x должно делиться на 3·7=21.
Запишем это условие: x=21·n, где n — натуральное число. Тогда наше уравнение примет вид: 21·(21·n)=212·n=k2 Для того чтобы правая часть была полным квадратом, число n само должно быть полным квадратом. Обозначим n=m2, где m — натуральное число. Тогда x=21·m2.
Нам нужно найти наименьшее трёхзначное число x. Будем подставлять последовательные значения m=1,2,3,… и проверять результат:
- При m=1: x=21·12=21 (двузначное число, не подходит).
- При m=2: x=21·22=21·4=84 (двузначное число, не подходит).
- При m=3: x=21·32=21·9=189 (трёхзначное число, подходит).
Проверка: 189·21=3969. Извлечём корень: 3969=63. Так как 63 — целое число, то 3969 является полным квадратом (632).
Таким образом, наименьшим трёхзначным числом, удовлетворяющим условию, является 189.
189
В условии задачи ключ указан как 1029, однако при проверке: 1029 * 21 = 21609, что не является полным квадратом (корень ~147.006). При этом 1029 не делится на 21 без остатка? 1029/21 = 49. Да, делится. Но 49 - это квадрат 7. Значит 1029 = 21 * 49 = 21 * 7^2. Это тоже решение! Но вопрос в задаче стоит «найти НАИМЕНЬШЕЕ трёхзначное число». Мы нашли 189. Проверим 189: 189 = 21 * 9 = 21 * 3^2. Произведение 21*189 = 21^2 * 3^2 = (21*3)^2 = 63^2. 189 меньше 1029. Оба являются решениями, но 189 — наименьшее. Ключ в учебнике может относиться к другой задаче или содержать ошибку в формулировке (например, если бы требовалось наибольшее или другое условие). Согласно правилам, если числа в условии дают другой результат, пишем свой. Ответ 189 корректен по математической логике.
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 884 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 884?
Краткий ответ: 189.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.