ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 880: Задачи повышенной трудности

План решения.

Дана система уравнений в натуральных числах: {x+y+z=14x+yz=19 Так как x,y,z — натуральные числа (то есть целые положительные: 1,2,3,…), мы можем выразить одну переменную через другие и использовать ограничения на значения. Из второго уравнения видно, что произведение yz должно быть меньше 19, так как x≥1. Это сильно ограничивает возможные варианты для y и z.

Вычисление.

1. Выразим x из первого уравнения: x=14-y-z. 2. Подставим это выражение во второе уравнение: (14-y-z)+yz=19 3. Перенесем все члены с переменными в одну сторону, а числа в другую: yz-y-z=19-14 yz-y-z=5 4. Чтобы разложить левую часть на множители, добавим к обеим частям единицу: yz-y-z+1=5+1 (y-1)(z-1)=6 5. Так как y и z — натуральные числа (y≥1,z≥1), то множители (y-1) и (z-1) являются целыми неотрицательными числами. Поскольку их произведение равно 6, ни один из них не может быть равен нулю. Значит, y>1 и z>1, и оба множителя положительны. 6. Найдем пары натуральных делителей числа 6. Возможные разложения 6=a·b (где a=y-1,b=z-1):

• Случай 1: y-1=1 и z-1=6. Тогда y=2,z=7.
  Найдем x: x=14-2-7=5.
  Проверка второго уравнения: 5+2·7=5+14=19. Верно.
  Решение: (5;2;7).
• Случай 2: y-1=6 и z-1=1. Тогда y=7,z=2.
  Найдем x: x=14-7-2=5.
  Проверка второго уравнения: 5+7·2=5+14=19. Верно.
  Решение: (5;7;2).
• Случай 3: y-1=2 и z-1=3. Тогда y=3,z=4.
  Найдем x: x=14-3-4=7.
  Проверка второго уравнения: 7+3·4=7+12=19. Верно.
  Решение: (7;3;4).
• Случай 4: y-1=3 и z-1=2. Тогда y=4,z=3.
  Найдем x: x=14-4-3=7.
  Проверка второго уравнения: 7+4·3=7+12=19. Верно.
  Решение: (7;4;3).

Проверка и итог.

Мы перебрали все возможные пары натуральных делителей числа 6. Все полученные тройки (x;y;z) состоят из натуральных чисел и удовлетворяют обоим уравнениям системы. Других решений нет, так как разложение на множители исчерпывает все случаи для целых положительных y-1 и z-1.