ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 876: Задачи повышенной трудности
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Ольга Кузнецова, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Упростите выражения: а) кубический корень из (5\sqrt{2} + 7) минус кубический корень из (5\sqrt{2} - 7); б) кубический корень из (2 + \sqrt{5}) плюс кубический корень из (2 - \sqrt{5}).
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для упрощения выражений с кубическими корнями от иррациональных чисел вида 3a±b часто применяют метод неопределённых коэффициентов или подбор. Предположим, что значение выражения можно представить в виде разности или суммы более простых корней.
Пункт а)
Рассмотрим выражение: x=352+7-352-7
Попробуем предположить, что каждый из кубических корней раскладывается на сумму/разность вида 3A±3B. Однако более эффективный способ для таких задач — возведение в куб всего выражения или проверка гипотезы о целом ответе.
Проверим гипотезу, что ответ равен 2. Если x=2, то:
23=(352+7-352-7)3
Используем формулу (a-b)3=a3-b3-3ab(a-b). Пусть a=352+7 и b=352-7.
Тогда a3=52+7, b3=52-7.
Разность кубов: a3-b3=(52+7)-(52-7)=14.
Произведение ab: ab=3(52+7)(52-7)=3(52)2-72=350-49=31=1
Подставим в формулу куба разности:
x3=14-3·1·x=14-3x
Если мы предполагаем, что x=2, то левая часть 23=8, а правая часть 14-3(2)=14-6=8. Равенство выполняется.
Так как функция f(x)=x3+3x-14 монотонно возрастает (производная 3x2+3>0), то уравнение x3+3x-14=0 имеет единственный действительный корень. Мы нашли его методом подбора: x=2.
Следовательно, 352+7-352-7=2
Пункт б)
Рассмотрим выражение: y=32+5+32-5
Аналогично пункту а), обозначим a=32+5 и b=32-5. Тогда y=a+b.
Возведём y в куб, используя формулу (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b).
Вычислим a3+b3:
a3+b3=(2+5)+(2-5)=4
Вычислим произведение ab:
ab=3(2+5)(2-5)=322-(5)2=34-5=3-1=-1
Подставим найденные значения в формулу куба суммы:
y3=4+3(-1)y=4-3y
Получаем уравнение относительно y: y3+3y-4=0
Попробуем подобрать целый корень. Делим свободный член (-4) на старший коэффициент (1). Возможные делители: ±1,±2,±4.
Проверим y=1: 13+3(1)-4=1+3-4=0
Корень найден. Так как производная g(y)=y3+3y-4 равна 3y2+3, которая всегда положительна, функция строго возрастает, значит, корень y=1 единственный.
Следовательно, 32+5+32-5=1
а) 2
б) 1
Задачи решаются через возведение выражения в куб и сведение к алгебраическому уравнению третьей степени. Ключевой момент — вычисление произведения подкоренных выражений (абсцисса константы в уравнении x3+px+q=0).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 876 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 876?
Краткий ответ: а) 2 б) 1.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.