ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 875: Задачи повышенной трудности

Для доказательства неравенства обозначим искомое выражение через A_n. Нам нужно показать, что при любом натуральном n>1 выполняется условие:

Шаг 1. Доказательство правой части неравенства (A_n<1)

Рассмотрим дробь под знаком корня: P_n=1·3·5·…·(2n-1)/2·4·6·…·2n Заметим, что каждый множитель в числителе строго меньше соответствующего множителя в знаменателе: 1<2, 3<4, 5<6, …, 2n-1<2n Следовательно, произведение числителя строго меньше произведения знаменателя, то есть P_n<1. Так как 0<P_n<1, то и арифметический корень n-й степени из этого числа также меньше единицы: A_n=nP_n<n1=1 Правая часть неравенства доказана.

Шаг 2. Доказательство левой части неравенства (A_n>1/2)

Чтобы доказать, что A_n>1/2, возведём обе части в степень n (так как функции монотонны для положительных чисел). Нам достаточно проверить верность неравенства: P_n>(1/2)ⁿ=1/2ⁿ Или эквивалентно: 1·3·5·…·(2n-1)/2·4·6·…·2n>1/2ⁿ Умножим обе части на знаменатель дроби слева (2·4·…·2n): 1·3·5·…·(2n-1)>2·4·6·…·2n/2ⁿ Вынесем общий множитель 2 из каждого члена произведения в правой части: 2·4·6·…·2n=(2·1)·(2·2)·(2·3)·…·(2·n)=2ⁿ·(1·2·3·…·n)=2ⁿ·n! Подставим это обратно в неравенство: 1·3·5·…·(2n-1)>2ⁿ·n!/2ⁿ 1·3·5·…·(2n-1)>n! Теперь сравним почленно множители левого и правого частей. Пусть левая часть — это произведение нечётных чисел до (2n-1), а правая — факториал n!=1·2·3·…·n. Это сравнение неочевидно напрямую, поэтому воспользуемся методом математической индукции или более простым оценочным методом. Давайте проверим базовый случай n=2: A₂=21·3/2·4=3/8≈0.375≈0.612 Так как 0.612>0.5, неравенство верно для n=2. Для общего случая n>1 докажем, что P_n>1/2ⁿ используя известное неравенство Валиса или просто оценку снизу. Рассмотрим произведение Q_n=P_n·R_n, где R_n=2·4·…·2n/3·5·…·(2n+1). Заметим, что P_n>R_n? Нет, это сложный путь. Вернёмся к неравенству 1·3·…·(2n-1)>n!. Проверим для n=3: Числитель 1·3·5=15. Знаменатель 3!=6. 15>6 — верно. Проверим для n=4: Числитель 1·3·5·7=105. Знаменатель 4!=24. 105>24 — верно. Докажем по индукции, что ∏nk=1(2k-1)>n! для всех n≥2. База: n=2, 1·3=3>2!=2. Верно. Предположим, верно для n=k: (2k-1)!!>k!. Рассмотрим n=k+1: (2(k+1)-1)!!=(2k+1)!!=(2k+1)·(2k-1)!! По предположению индукции (2k-1)!!>k!, значит: (2k+1)!!>(2k+1)·k! Нам нужно доказать, что (2k+1)·k!>(k+1)!=(k+1)·k!. Сократив на k!, получаем неравенство 2k+1>k+1, то есть k>0, что верно для любого натурального k. Следовательно, неравенство 1·3·…·(2n-1)>n! верно для всех n≥2. Возвращаясь к нашему исходному неравенству: Мы показали, что 1·3·…·(2n-1)>n!. Разделим обе части на 2·4·…·2n=2ⁿ·n!: 1·3·…·(2n-1)/2ⁿ·n!>n!/2ⁿ·n! 1·3·…·(2n-1)/2·4·…·2n>1/2ⁿ То есть P_n>1/2ⁿ. Извлекая корень n-й степени, получаем: nP_n>n1/2ⁿ=1/2 Левая часть неравенства доказана.

Вывод

Мы доказали, что A_n<1 и A_n>1/2. Следовательно, при любом натуральном n>1 верно неравенство: 1/2<n1·3·5·…·(2n-1)/2·4·6·…·2n<1