9 класс Задачи повышенной трудности

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 879: Задачи повышенной трудности

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Артём Савельев, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 878 880 →

Условие

Решите систему уравнений: x²+y²-2z²=0; x+y+z=8; xy = -z².

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим систему уравнений:

{x²+y²-2z²=0x+y+z=8xy=-z²

План решения:

Используем третье уравнение для замены z² в первом уравнении.
Упростим первое уравнение, чтобы найти связь между x и y.
Подставим найденную связь во второе уравнение или выразим переменные через одну.
Найдём конкретные значения x,y,z и проверим их подстановкой.

Вычисление:

Из третьего уравнения системы имеем:

xy=-z²impliesz²=-xy

Подставим выражение для z² в первое уравнение:

x²+y²-2(-xy)=0 x²+y²+2xy=0

Левая часть представляет собой формулу квадрата суммы:

(x+y)²=0

Отсюда следует, что:

x+y=0impliesy=-x

Теперь используем второе уравнение системы:

x+y+z=8

Подставим туда y=-x:

x+(-x)+z=8 0+z=8impliesz=8

Мы нашли значение z. Теперь вернёмся к третьему уравнению, чтобы найти связь между x и y, учитывая, что z=8:

xy=-z² xy=-8² xy=-64

Так как мы уже знаем, что y=-x, подставим это в последнее равенство:

x·(-x)=-64 -x²=-64 x²=64

Отсюда получаем два возможных значения для x:

x₁=8, x₂=-8

Соответственно, находим y (помня, что y=-x):

Если x₁=8, то y₁=-8.
Если x₂=-8, то y₂=8.

Значение z для обоих случаев одинаково: z=8.

Проверка:

Проверим первую тройку (8;-8;8):

x²+y²-2z²=8²+(-8)²-2(8²)=64+64-128=0. Верно.
x+y+z=8+(-8)+8=8. Верно.
xy=8·(-8)=-64, а -z²=-8²=-64. Верно.

Проверим вторую тройку (-8;8;8):

x²+y²-2z²=(-8)²+8²-2(8²)=64+64-128=0. Верно.
x+y+z=-8+8+8=8. Верно.
xy=(-8)·8=-64, а -z²=-64. Верно.

Ответ

а) x₁=8,y₁=-8,z₁=8

б) x₂=-8,y₂=8,z₂=8

Ключ в учебнике совпадает с полученным решением. Система сводится к квадратному уравнению относительно одной переменной после использования симметрии и подстановки.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 879 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 879?

Краткий ответ: а) x_1 = 8, y_1 = -8, z_1 = 8 б) x_2 = -8, y_2 = 8, z_2 = 8.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.