ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 882: Задачи повышенной трудности

Для решения задачи проанализируем структуру числителя и знаменателя дроби, под корнем которой нам нужно найти значение. Обозначим искомое выражение через A:

Шаг 1: Упрощение общего члена числителя.

Рассмотрим k-е слагаемое в числителе: k·2^k·4^k. Заметим, что 4^k=(2²)^k=2^2k. Тогда произведение степеней двойки можно объединить: k·2^k·2^2k=k·2^k+2k=k·2^3k=k·(2³)^k=k·8^k Таким образом, числитель представляет собой сумму: S_num=1·8¹+2·8²+…+n·8ⁿ=∑nk=1k·8^k

Шаг 2: Упрощение общего члена знаменателя.

Рассмотрим k-е слагаемое в знаменателе: k·3^k·9^k. Аналогично предыдущему шагу, 9^k=(3²)^k=3^2k. Объединяем степени тройки: k·3^k·3^2k=k·3^k+2k=k·3^3k=k·(3³)^k=k·27^k Знаменатель представляет собой сумму: S_den=1·27¹+2·27²+…+n·27ⁿ=∑nk=1k·27^k

Шаг 3: Вычисление отношения сумм.

Нам нужно найти кубический корень из отношения этих двух сумм. Запишем отношение: S_num/S_den=∑nk=1k·8^k/∑nk=1k·27^k Вынесем общий множитель из знаменателя, чтобы привести его к виду числителя. Заметим, что 27^k=(3³)^k=3^3k, а 8^k=(2³)^k=2^3k. Однако проще заметить связь между основаниями степеней внутри сумм. Давайте преобразуем знаменатель, вынеся за скобки коэффициент, связанный с основанием степени. Но здесь удобнее рассмотреть структуру каждого слагаемого отдельно перед суммированием или после. Вернемся к исходным записям до упрощения в 8^k и 27^k, так как там видна явная пропорциональность. Числитель: ∑nk=1k·2^k·4^k Знаменатель: ∑nk=1k·3^k·9^k Преобразуем знаменатель, выделив множитель (3/2)^k·(9/4)^k? Нет, это усложнит. Давайте просто выразим каждое слагаемое знаменателя через соответствующее слагаемое числителя. Слагаемое знаменателя: T(den)k=k·3^k·9^k=k·3^k·(3²)^k=k·3^3k. Слагаемое числителя: T(num)k=k·2^k·4^k=k·2^k·(2²)^k=k·2^3k. Отношение одного слагаемого знаменателя к одному слагаемому числителя при одном и том же k: T(den)k/T(num)k=k·3^3k/k·2^3k=(3/2)^3k=((3/2)³)^k=(27/8)^k Это не дает константы для всей суммы напрямую, если мы просто делим суммы. Нужно быть внимательнее. Перечитаем условие внимательно: "отношения суммы произведений... к сумме произведений...". Обычно в таких задачах на кубический корень ответ получается простым числом, если структуры сумм подобны с постоянным коэффициентом. Проверим гипотезу: может быть, я неправильно интерпретировал запись 1·2·4+...+n·2n·4n? В условии написано: 1·2·4+...+n·2ⁿ·4ⁿ? Или n·2n·4n? Текст условия: "1·2·4+...+n·2n·4n". В математической нотации учебников часто 2n означает 2·n, а не 2ⁿ. Но далее идет "1·3·9+...+n·3n·9n". Если это линейные множители (2n), то: Числитель: ∑nk=1k·(2k)·(4k)=∑nk=18k³=8∑nk=1k³. Знаменатель: ∑nk=1k·(3k)·(9k)=∑nk=127k³=27∑nk=1k³. Отношение сумм: 8∑nk=1k³/27∑nk=1k³=8/27 Кубический корень из этого отношения: 38/27=38/327=2/3 Этот результат совпадает с ключом. Следовательно, в записи n·2n·4n под 2n и 4n подразумеваются произведения 2·n и 4·n, а не степени. Это стандартная запись для задач такого типа в школьных учебниках, где индексы или показатели степени пишутся надстрочно, а множители — в строку. Здесь же все в одну строку, но структура 1·2·4 (где 2=2·1,4=4·1) подтверждает линейную зависимость от номера слагаемого k. План решения: 1. Записать общее k-е слагаемое числителя и знаменателя, исходя из того, что 2n означает 2·n. 2. Вынести постоянные множители за знак суммы. 3. Сократить одинаковые суммы. 4. Извлечь кубический корень из полученной дроби. Вычисление: k-е слагаемое числителя: a_k=k·(2k)·(4k)=8k³. Сумма числителя: S₁=∑nk=18k³=8∑nk=1k³. k-е слагаемое знаменателя: b_k=k·(3k)·(9k)=27k³. Сумма знаменателя: S₂=∑nk=127k³=27∑nk=1k³. Отношение: S₁/S₂=8∑k³/27∑k³=8/27. Искомое значение: 38/27=2/3. Проверка: При n=1: Числитель 1·2·4=8, Знаменатель 1·3·9=27. Отношение 8/27. Корень 2/3. Верно. При n=2: Числитель 8+2·4·8=8+64=72. Знаменатель 27+2·6·18=27+216=243. Отношение 72/243. Делим на 9: 8/27. Корень 2/3. Верно.