9 класс Задачи повышенной трудности

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 889: Задачи повышенной трудности

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Илья Морозов, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 888 890 →

Условие

Решить уравнение: корень третьей степени из (65+x)² плюс 4 корня третьей степени из (65-x)² минус 5 корней третьей степени из (65² - x^2) равен 0.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Для решения уравнения вида 3(65+x)²+43(65-x)²-5365²-x²=0 применим метод замены переменных. Заметим, что под корнями стоят квадраты выражений (65+x) и (65-x), а также их произведение.

Введём обозначения: пусть a=365+x и b=365-x. Тогда:

3(65+x)²=a²
3(65-x)²=b²
365²-x²=3(65-x)(65+x)=ab

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

a²+4b²-5ab=0

Получили однородное квадратное уравнение относительно a и b. Разложим левую часть на множители методом группировки или через дискриминант. Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно a: a²-5ba+4b²=0. Дискриминант D=(-5b)²-4·1·4b²=25b²-16b²=9b². Корни:

a_1,2=5b±3b/2

Отсюда два случая:

a₁=8b/2=4b
a₂=2b/2=b

Теперь вернёмся к исходным переменным x.

Случай 1: a=4b

365+x=4365-x

Возведём обе части в куб:

65+x=64(65-x)

Раскроем скобки и решим линейное уравнение:

65+x=4160-64x

Перенесём слагаемые с x влево, числа вправо:

x+64x=4160-65

65x=4095

x=4095/65=63

Случай 2: a=b

365+x=365-x

Возведём обе части в куб:

65+x=65-x

2x=0

x=0

Проверка:

При x=0: 365²+4365²-5365²=5365²-5365²=0. Верно.

При x=63: 65+63=128, 65-63=2. Уравнение принимает вид 3128²+432²-53128·2=0.
Заметим, что 128=2⁷, тогда 128²=2¹⁴, 32¹⁴=2⁴32²=1634.
Второй член: 434.
Третий член: 53256=532⁸=5·2²32²=2034.
Итого: 1634+434-2034=2034-2034=0. Верно.

Ответ

0; 63

Задача сводится к решению однородного уравнения второй степени после введения замены переменных. Важно аккуратно возвести в куб при переходе от корней к степеням.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 889 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 889?

Краткий ответ: 0; 63.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.