ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 893: Задачи повышенной трудности

Для решения задач на изображение множеств решений неравенств с модулями и квадратами переменных, необходимо использовать метод выделения полного квадрата. Это позволяет свести уравнение к каноническому виду окружности или её частей. Пункт а) Дано неравенство: x²+y²-6|x|+2y≤-1Перенесём все члены в левую часть:x²-6|x|+y²+2y+1≤0Заметим, что x²=|x|². Сгруппируем слагаемые с x и с y отдельно для выделения полных квадратов:Для переменной x: выражение |x|²-6|x| дополним до полного квадрата (|x|-3)², добавив константу 9. То есть |x|²-6|x|=(|x|-3)²-9.Для переменной y: выражение y²+2y дополним до полного квадрата (y+1)², добавив константу 1. То есть y²+2y=(y+1)²-1.Подставим преобразованные выражения обратно в неравенство:((|x|-3)²-9)+((y+1)²-1)+1≤0Упростим свободные члены (-9-1+1=-9):(|x|-3)²+(y+1)²-9≤0(|x|-3)²+(y+1)²≤9Рассмотрим два случая раскрытия модуля |x|: Случай 1: x≥0. Тогда |x|=x. Неравенство принимает вид: (x-3)²+(y+1)²≤9. Это круг радиуса R=3 с центром в точке C₁(3;-1), расположенный в правой полуплоскости (x≥0). Случай 2: x Итог по пункту а): Множество решений представляет собой объединение двух кругов радиуса 3 с центрами в точках(3; -1)и(-3; -1), ограниченных осью OY (так как при x=0оба условия переходят друг в друга непрерывно). Фактически это две симметричные относительно оси OY части дисков. Пункт б) Дано неравенство:x²+y²-6x+2|y|≤-1Перенесём единицу влево:x²-6x+y²+2|y|+1≤0Аналогично предыдущему пункту, используем тождествоy^{2} = \lvert y\rvert ^{2}. Выделим полные квадраты:Для переменнойx : x^{2} - 6x = (x-3)^{2} - 9.Для переменнойy :\lvert y\rvert ^{2} + 2\lvert y\rvert = (\lvert y\rvert +1)^{2} - 1.Подставим в неравенство:((x-3)²-9)+((|y|+1)²-1)+1≤0Упростим свободные члены (-9 - 1 + 1 = -9):(x-3)²+(|y|+1)²-9≤0$(x-3)²+(|y|+1)²≤9Рассмотрим случаи для модуля |y|: Случай 1: y≥0. Тогда |y|=y. Неравенство: (x-3)²+(y+1)²≤9. Это круг радиуса R=3 с центром в точке C₁(3;-1), но так как мы рассматриваем только верхнюю полуплоскость (y≥0), то берём часть этого круга, лежащую выше оси OX. Случай 2: y Проверка границ: Центр первого круга(3; -1)находится ниже оси OX . Радиус равен 3. Верхняя точка этого круга имеет координату y = -1 + 3 = 2. Так как мы берём часть с y \ge 0, то отрезок от y=0до y=2входит в решение. Центр второго круга(3; 1)находится выше оси OX . Нижняя точка имеет координату y = 1 - 3 = -2. Мы берём часть с y Итог по пункту б): Множество решений состоит из двух частей: верхней части круга с центром (3;-1) и нижней части круга с центром (3;1). Обе части имеют радиус 3 и лежат в полосе x∈[0;6]. Геометрически фигура выглядит как «глаз» или линза, вытянутая вертикально, симметричная относительно прямой y=0? Нет, проверим симметрию. Уравнение содержит |y|, значит оно симметрично относительно оси OX. Действительно, если заменить y на -y, неравенство не изменится. Таким образом, множество решений симметрично относительно оси абсцисс.