9 класс Задачи повышенной трудности

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 894: Задачи повышенной трудности

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Вера Лапина, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 8 сентября 2026

← 893 895 →

Условие

Закрасьте на координатной плоскости фигуру, заданную системой неравенств {y - 4 ≤ x² - 4|x|, 4x - 3y ≤ -12}. Охарактеризуйте её аналитически.xyOГрафик

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Проанализировать первое неравенство y≤x²-4|x|+4, определив его геометрический смысл и симметрию.
Проанализировать второе неравенство 4x-3y≤-12, выразив y через x для определения области относительно прямой.
Найти точки пересечения границы параболы и прямой, чтобы определить точные координаты вершин фигуры.
Охарактеризовать итоговую фигуру аналитически (тип, свойства).

Вычисление:

Рассмотрим первое неравенство системы: y-4≤x²-4|x| Перенесем 4 в правую часть: y≤x²-4|x|+4 Заметим, что выражение справа можно представить как полный квадрат. Поскольку x²=|x|², то: x²-4|x|+4=(|x|-2)² Таким образом, неравенство принимает вид: y≤(|x|-2)² Это означает, что искомая область лежит ниже графика функции y=(|x|-2)². График этой функции состоит из двух ветвей параболы, симметричных относительно оси OY:

При x≥0: y=(x-2)² — парабола с вершиной в точке (2;0).
При x<0: y=(-x-2)²=(x+2)² — парабола с вершиной в точке (-2;0).

Вершина всей конструкции находится в точке (0;4), так как при x=0, y=(0-2)²=4.

Теперь рассмотрим второе неравенство: 4x-3y≤-12 Выразим y: -3y≤-12-4x Делим на -3 (знак неравенства меняется на противоположный): y≥-12-4x/-3 y≥4+4/3x Или: y≥4/3x+4 Это означает, что искомая область лежит выше или на прямой y=4/3x+4. Прямая проходит через точку (0;4) (пересечение с осью OY) и имеет угловой коэффициент k=4/3.

Найдем точки пересечения верхней границы (y=(|x|-2)²) и нижней границы (y=4/3x+4). Обратим внимание, что точка (0;4) является общей: она лежит и на параболе (y=(0-2)²=4), и на прямой (y=4/3·0+4=4). Это одна из вершин фигуры.

Рассмотрим правую половину плоскости (x≥0). Здесь граница сверху задана уравнением y=(x-2)². Приравняем к уравнению прямой: (x-2)²=4/3x+4 Раскроем скобки: x²-4x+4=4/3x+4 Вычтем 4 из обеих частей: x²-4x=4/3x Переносим все в левую часть: x²-4x-4/3x=0 x²-16/3x=0 x(x-16/3)=0 Корни: x₁=0 и x₂=16/3. Для x₂=16/3 найдем y: y=4/3·16/3+4=64/9+36/9=100/9 Точка пересечения: A(16/3;100/9).

Рассмотрим левую половину плоскости (x<0). Здесь граница сверху задана уравнением y=(x+2)². Приравняем к уравнению прямой: (x+2)²=4/3x+4 Раскроем скобки: x²+4x+4=4/3x+4 Вычтем 4: x²+4x=4/3x x²+4x-4/3x=0 x²+8/3x=0 x(x+8/3)=0 Корни: x₃=0 и x₄=-8/3. Для x₄=-8/3 найдем y: y=4/3·(-8/3)+4=-32/9+36/9=4/9 Точка пересечения: B(-8/3;4/9).

Таким образом, фигура ограничена:

Сверху куском графика y=(|x|-2)² между x=-8/3 и x=16/3.
Снизу отрезком прямой y=4/3x+4 между теми же абсциссами.

Вершины фигуры: B(-8/3;4/9), C(0;4), A(16/3;100/9).

Аналитическая характеристика:

Фигура представляет собой замкнутую выпуклую область, ограниченную двумя дугами параболы и одним прямолинейным отрезком. Она не является многоугольником, так как содержит криволинейные границы. Фигура расположена преимущественно в первой и второй четвертях, частично заходя в третью (точка B имеет положительную ординату, но отрицательную абсциссу, однако вся область выше прямой, которая при x=-8/3 дает y=4/9>0, значит, вся фигура лежит выше оси OX).

Ответ

Фигура ограничена сверху графиком функции y=(|x|-2)², а снизу прямой y=4/3x+4.

Вершины фигуры: (-8/3;4/9), (0;4), (16/3;100/9).

Аналитически: это выпуклая криволинейная треугольная область.

Задача требует аккуратного раскрытия модуля и понимания направления неравенств. Ключевой момент — переход от x²-4|x|+4 к (|x|-2)². Проверка точек пересечения обязательна для корректного описания границ.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 894 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 894?

Краткий ответ: Фигура ограничена сверху графиком функции y = (|x| - 2)^2, а снизу прямой y = 43x + 4. Вершины фигуры: (- 83; 49), (0; 4), ( 163; 1009). Аналитически: это выпуклая криволинейная треугольная область.

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.