ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 892: Задачи повышенной трудности

Для решения задач на изображение множеств решений неравенств с двумя переменными необходимо проанализировать структуру каждого неравенства, определить границы области и выбрать тестовую точку для проверки принадлежности полуплоскости.

а) y≤10/|x|

• Область определения: Так как в знаменателе стоит модуль x, то x≠0. Функция не определена при x=0.
• Граница: Уравнение y=10/|x|. При x>0 это гипербола y=10/x (первая четверть). При x<0 это гипербола y=-10/x (вторая четверть, так как |x|=-x). График симметричен относительно оси Oy и лежит выше оси Ox (y>0).
• Неравенство: Знак ≤ означает, что мы берем область под графиком функции. Поскольку y может быть отрицательным или нулем, а функция всегда положительна, то вся нижняя полуплоскость (y≤0) входит в решение, а также часть верхней полуплоскости под ветвями гиперболы.
• Изображение: Штрихуем всю плоскость ниже оси Ox и область между ветвями гиперболы y=10/|x| и осью Ox (включая саму кривую, так как знак нестрогий). Ось Oy (x=0) является вертикальной асимптотой, штриховка не пересекает её.

б) y+|8/x|≥0

• Преобразование: Перенесем модуль: y≥-|8/x|.
• Граница: Уравнение y=-|8/x|. Это отражение графика из пункта (а) относительно оси Ox. Ветви лежат в третьей и четвертой четвертях (y<0).
• Неравенство: Знак ≥ означает область над графиком. То есть все точки, где ордината больше или равна значениям этой «перевернутой» гиперболы.
• Изображение: Штрихуем всю верхнюю полуплоскость (y≥0) и область между ветвями кривой y=-|8/x| и осью Ox (сверху от кривой). Граница включается в множество.

в) |y|-x²+2x≤1

• Преобразование: Выразим модуль: |y|≤x²-2x+1. Заметим, что правая часть — полный квадрат: |y|≤(x-1)².
• Анализ: Неравенство вида |y|≤f(x) равносильно двойному неравенству -f(x)≤y≤f(x). Здесь f(x)=(x-1)²≥0.
• Границы: Верхняя граница y=(x-1)² — парабола с вершиной в точке (1;0), ветви вверх. Нижняя граница y=-(x-1)² — парабола с той же вершиной, ветви вниз.
• Изображение: Множество решений — это область, заключенная между этими двумя параболой, включая их границы. Это фигура, похожая на «глаз» или линзу, вытянутую вдоль оси Ox, касающаяся оси Ox в точке x=1.

г) |y|+x²-4x≥4

• Преобразование: |y|≥-x²+4x+4. Или |y|≥-(x²-4x-4). Выделим полный квадрат в скобках: x²-4x=(x-2)²-4. Тогда -(x²-4x-4)=-((x-2)²-4-4)=8-(x-2)².
• Неравенство: |y|≥8-(x-2)².
• Случай 1: Если правая часть отрицательна, т.е. 8-(x-2)²<0⇒(x-2)²>8, то неравенство выполняется автоматически для любого y, так как модуль неотрицателен. Это области слева от x=2-8 и справа от x=2+8.
• Случай 2: Если правая часть неотрицательна, то |y|≥g(x) равносильно y≥g(x) ИЛИ y≤-g(x). Где g(x)=8-(x-2)² — парабола ветвями вниз с вершиной (2;8).
• Изображение: Штрихуем внешнюю область относительно «глаза», образованного параболами y=8-(x-2)² и y=-(8-(x-2)²)=(x-2)²-8. То есть всё, что находится выше верхней параболы и ниже нижней параболы, а также боковые полосы, где верхняя парабола уходит в минус бесконечность (там условие |y|≥отрицательное число верно всегда).