ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 890: Задачи повышенной трудности
Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.
Надежда Фомина, преподаватель алгебры Шпаргача обновлено 11 сентября 2026
Условие
Построить множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству
а) xy2<x
б) y2-x2y+2x2>2y
в) x3+xy2-4x <= 0
г) x2y+y3-y >= 0.
Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.
Пошаговое решение
Для построения множества точек, удовлетворяющих заданным неравенствам, необходимо преобразовать каждое из них к виду, удобному для анализа. Обычно это сводится к разложению на множители и определению знаков выражений в различных областях координатной плоскости.
а) xy2<x
Перенесём все слагаемые в левую часть:
xy2-x<0Вынесем общий множитель x за скобки:
x(y2-1)<0Разложим разность квадратов:
x(y-1)(y+1)<0Границами областей являются прямые x=0 (ось ординат), y=1 и y=-1. Эти линии делят плоскость на несколько частей. Нам нужно найти области, где произведение трёх множителей отрицательно.
- Если x>0, то должно выполняться (y-1)(y+1)<0, то есть y2<1, откуда -1<y<1. Это полоса между прямыми y=-1 и y=1 справа от оси OY.
- Если x<0, то должно выполняться (y-1)(y+1)>0, то есть y2>1, откуда y>1 или y<-1. Это области выше прямой y=1 и ниже прямой y=-1 слева от оси OY.
Сами границы (x=0,y=1,y=-1) не входят в множество, так как неравенство строгое.
б) y2-x2y+2x2>2y
Перенесём всё в левую часть:
y2-x2y+2x2-2y>0Сгруппируем слагаемые:
(y2-2y)-(x2y-2x2)>0 y(y-2)-x2(y-2)>0Вынесем общий множитель (y-2):
(y-2)(y-x2)>0Границы: парабола y=x2 и прямая y=2. Неравенство вида A·B>0 выполняется, когда оба множителя одного знака.
- Случай 1: y-2>0 и y-x2>0. То есть y>2 и y>x2. Поскольку при y>2 условие y>x2 может нарушаться только если x2>y, но мы берем пересечение. Проще сказать: область выше параболы y=x2 И выше прямой y=2. Так как вершина параболы (0,0), а она пересекает y=2 в точках (±2,2), то эта область находится над «шапкой» параболы выше уровня y=2.
- Случай 2: y-2<0 и y-x2<0. То есть y<2 и y<x2. Это область под параболой y=x2 И под прямой y=2. Так как парабола уходит вниз бесконечно, а сверху ограничена прямой y=2 (в местах, где парабола ниже неё), то это область внутри «чаши» параболы, ограниченная сверху хордой y=2.
Итак, множество — это объединение двух областей: та, что лежит выше параболы и выше прямой y=2, и та, что лежит ниже параболы и ниже прямой y=2. Границы не включаются.
в) x3+xy2-4x≤0
Вынесем x за скобки:
x(x2+y2-4)≤0Заметим, что x2+y2-4=0 — это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R=2.
Рассмотрим знаки множителей:
- Если x>0, то должно быть x2+y2-4≤0, то есть x2+y2≤4. Это правая половина круга (включая границу).
- Если x<0, то должно быть x2+y2-4≥0, то есть x2+y2≥4. Это внешняя часть плоскости слева от оси OY (вне круга).
- Если x=0, то неравенство превращается в 0≤0, что верно для любого y. Значит, вся ось OY входит в решение.
Объединяя эти случаи, получаем: правый полукруг (включая диаметр на оси OY) и вся левая полуплоскость вне круга (включая границу окружности). Или проще: множество точек, лежащих внутри или на границе круга в правой полуплоскости, плюс все точки левой полуплоскости, лежащие вне или на границе круга.
г) x2y+y3-y≥0
Вынесем y за скобки:
y(x2+y2-1)≥0Границы: прямая y=0 (ось абсцисс) и окружность x2+y2=1 (радиус 1).
Анализ знаков:
- Если y>0, то нужно x2+y2-1≥0, то есть x2+y2≥1. Это верхняя полуплоскость вне единичного круга (или на его границе).
- Если y<0, то нужно x2+y2-1≤0, то есть x2+y2≤1. Это нижняя полуплоскость внутри единичного круга (или на его границе).
- Если y=0, то неравенство 0≥0 верно. Вся ось OX входит в решение.
Итоговое множество: верхняя часть плоскости, лежащая вне или на границе круга радиуса 1, и нижняя часть плоскости, лежащая внутри или на границе этого круга.
а) Область: при x>0 полоса -11 и y2
y>x2 и ${y<2y<p>в) Правый полукругx^{2}+y^{2} \le 4, x \ge 0и левая часть плоскости вне круга x^{2}+y^{2} \ge 4, x \le 0. Ось OY включена.</p><p>г) Верхняя полуплоскость вне кругаx^{2}+y^{2} \ge 1, y \ge 0и нижняя полуплоскость внутри круга x^{2}+y^{2} \le 1, y \le 0. Ось OX $ включена.
В задачах такого типа ключевым шагом является алгебраическое преобразование неравенства до произведения множителей. После этого строится схема знаков или анализируются отдельные случаи по знаку каждого множителя. Важно помнить про включение или исключение границ в зависимости от строгости неравенства (< или <=).
Как решение?
Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.
У вас другое условие?
Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.
Частые вопросы
Это точный номер 890 из моего учебника?
Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.
Какой ответ в задании 890?
Краткий ответ: а) Область: при x>0 полоса -1 1 и y 2 \\ y>x^2 cases и cases y<2 \\ y<x^2 cases. Границы не включены. в) Правый полукруг x^2+y^2 4, x 0 и левая часть плоскости вне круга x^2+y^2 4, x 0. Ось OY включена. г) Верхняя полуплоскость вне круга x^2+y^2 1, y 0 и нижняя полуплоскость внутри круга x^2+y^2 1, y 0. Ось OX включена.
Как пользоваться этим разбором?
Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.
Какой учебник имеется в виду?
«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.
Можно ли списать ответ без решения?
Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.