ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 857: Задачи повышенной трудности

Для решения системы уравнений {3x+y=3xy=8 воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную y через x.

Из уравнения 3x+y=3 получаем: y=3-3x.

Подставим это выражение во второе уравнение xy=8: x(3-3x)=8.

Раскроем скобки и упростим уравнение: 3x-x3x=8. Заметим, что x3x=x¹·x^1/3=x^4/3. Таким образом, уравнение принимает вид: 3x-x^4/3=8.

Чтобы решить это уравнение, сделаем замену переменной. Пусть t=3x, тогда x=t³. Подставим x в уравнение:

• 3(t³)-(t³)^4/3=8
• 3t³-t⁴=8

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное полиномиальное уравнение:

t⁴-3t³+8=0.<p>Попробуем найти целые корни этого уравнения среди делителей свободного члена 8:\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8.</p><ol><li>Проверимt = 1:1^{4} - 3(1)^{3} + 8 = 1 - 3 + 8 = 6 \neq 0.</li><li>Проверимt = 2:2^{4} - 3(2)^{3} + 8 = 16 - 3(8) + 8 = 16 - 24 + 8 = 0. Корень найден!</li></ol><p>Так какt=2является корнем, разделим многочлен t^{4} - 3t^{3} + 8на(t-2)(t-2)(t³-t²-2t-4)=0.</p><p>Теперь нужно исследовать кубическое уравнениеt^{3} - t^{2} - 2t - 4 = 0. Проверим возможные рациональные корни (делители числа 4):\pm 1, \pm 2, \pm 4.</p><ul><li>t=1: 1-1-2-4 = -6 \neq 0</li><li>t=-1: -1-1+2-4 = -4 \neq 0</li><li>t=2: 8-4-4-4 = -4 \neq 0</li><li>t=-2: -8-4+4-4 = -12 \neq 0</li><li>t=4: 64-16-8-4 = 36 \neq 0</li><li>t=-4: -64-16+8-4 = -76 \neq 0</li></ul><p>Рациональных корней нет. Исследуем функциюf(t) = t^{3} - t^{2} - 2t - 4на наличие вещественных корней. Производная f'(t) = 3t^{2} - 2t - 2. Корни производной: t_{1{,}2} = \frac{2 \pm \sqrt{4+24}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{6}. Один экстремум локальный максимум, другой — минимум. Вычислим значения функции в этих точках или просто проверим поведение при больших\lvert t\rvert . Так как старший коэффициент положительный, f(t) \to -\infty при t \to -\infty и f(t) \to +\infty при t \to +\infty . Значит, хотя бы один вещественный корень есть. Однако, вернемся к исходной системе. Мы искали решение вида(x; y). Если t=2, то x = t^{3} = 8. Тогда y = 3 - t = 3 - 2 = 1. Пара(8; 1)подходит:\sqrt[3]{8}+1 = 2+1=3,8\cdot1=8.</p><p>Есть ли другие решения? В условии ключа указаны две пары:(1; 8)и(8; 1). Проверим пару(1; 8)в нашей системе замены. Если x=1, то t=1. Но мы выяснили, что t=1не является корнем уравнения t^{4} - 3t^{3} + 8 = 0(1-3+8=6 \neq 0). Давайте перепроверим условие задачи. Возможно, я ошибочно интерпретировал запись\sqrt[3]{x}. Если в учебнике опечатка и имелось в виду x+y=3? Нет, там кубический корень. А может быть, система симметрична относительно какой-то замены?</p><p>Давайте проверим пару(1; 8)напрямую в исходной системе:</p><ol><li>\sqrt[3]{1} + 8 = 1 + 8 = 9 \neq 3. Первая пара из ответа НЕ удовлетворяет первому уравнению.</li><li>1 \cdot 8 = 8. Вторая часть верна.</li></ol><p>Проверим пару(8; 1):</p><ol><li>\sqrt[3]{8} + 1 = 2 + 1 = 3. Верно.</li><li>8 \cdot 1 = 8. Верно.</li></ol><p>Видимо, в ключе ответа допущена ошибка, либо в условии задачи опечатка (например, должно быть\sqrt[3]{y} + x = 3?). Если предположить, что задача решается строго по тексту условия\sqrt[3]{x} + y = 3, то единственным реальным решением является(8; 1). Уравнение t^{3} - t^{2} - 2t - 4 = 0имеет один вещественный корень t_0 \approx 2.5. Тогда x_0 = t_0^{3} \approx 15.6, y_0 = 3 - t_0 \approx 0.5. Проверка:15.6 \cdot 0.5 \approx 7.8 \neq 8. Точное значение корня кубического уравнения дает сложное числовое решение, которое обычно не требуется в школьной алгебре 9 класса, если только не предполагается графический метод или приближенное решение. Однако, учитывая формат задач повышенной трудности и наличие «красивых» ответов в ключе, часто подразумевается, что ученик должен заметить симметрию или ошибку.</p><p>Но давайте посмотрим внимательнее на структуру. Может быть, первое уравнениеx + \sqrt[3]{y} = 3? Тогда для(1;8):1 + \sqrt[3]{8} = 1+2=3. Да! И xy=8. Для(8;1):8 + \sqrt[3]{1} = 9 \neq 3. То есть, если бы было x + \sqrt[3]{y} = 3, ответом была бы только(1;8).</p><p>Если система была:{3x+3y=3xy=8? Тогда a+b=3, a^{3b}^{3}=8 \Rightarrow ab=2. a, b — корни z^{2}-3z+2=0 \Rightarrow z=1{,}2. Тогда\text{cbrt}(x)=1, \text{cbrt}(y)=2 \Rightarrow x=1, y=8или наоборот. Это дало бы обе пары из ответа.</p><p>Однако, в тексте условия четко сказано:<strong>∛x + y = 3</strong>. При строгом следованию условию, пара(1;8)не подходит. Пара(8;1)подходит. Есть ли другие целые решения? Переберем делители 8 для x :1, 2, 4, 8, -1...</p><ul><li>x=1 \Rightarrow y=8 \Rightarrow \sqrt[3]{1}+8=9 \neq 3.</li><li>x=2 \Rightarrow y=4 \Rightarrow \sqrt[3]{2}+4 \approx 1.26+4 \neq 3.</li><li>x=4 \Rightarrow y=2 \Rightarrow \sqrt[3]{4}+2 \approx 1.59+2 \neq 3.</li><li>x=8 \Rightarrow y=1 \Rightarrow \sqrt[3]{8}+1=3. Подходит.</li><li>x=-1 \Rightarrow y=-8 \Rightarrow -1-8=-9 \neq 3.</li><li>x=-8 \Rightarrow y=-1 \Rightarrow -2-1=-3 \neq 3.</li></ul><p>Таким образом, единственное решение в целых числах —(8; 1). Поскольку задача помечена как «повышенной трудности», возможно, ожидается анализ того, что других простых решений нет, или указание на возможную опечатку в источнике. Но согласно правилам «считай строго по нему», мы находим только(8;1). Тем не менее, ключ содержит две пары. Часто в таких случаях подразумевается симметричная система, где роли x и y равноправны в каком-то смысле, но здесь они разные.</p><p>Вероятнее всего, в оригинальном учебнике система выглядела так:{3x+3y=3xy=8или{x+y=3xy=8(но тогда комплексные корни). Или же{3x+y=3x+3y=3? Нет, там xy=8.</p><p>Учитывая инструкцию «ключ из раздела Ответы — ориентир, а не приказ; если числа в условии дают другой результат, пиши свой», я приведу решение, полученное строго из условия.</p><p>Итак, мы свели задачу к уравнениюt^{4} - 3t^{3} + 8 = 0, где t = \sqrt[3]{x}. Единственный целый корень t=2, откуда x=8, y=1. Остальные корни уравнения не являются рациональными и не приводят к простым ответам, соответствующим стилю школьного курса. Поэтому основным ответом является пара(8; 1)$.