9 класс Задачи повышенной трудности

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 854: Задачи повышенной трудности

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Мария Волкова, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 853 855 →

Условие

Найти все решения системы: x³+x^3y^3 + y³=12, x+xy+y=0.

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

Рассмотрим систему уравнений:

{x³+x^3y³+y³=12x+xy+y=0

План решения:

Введем новые переменные u=x+y и v=xy, чтобы выразить симметричные многочлены через элементарные симметрические функции.
Преобразуем второе уравнение системы для нахождения связи между u и v.
Выразим левую часть первого уравнения через u и v.
Решим полученную систему относительно u и v.
Найдем x и y, решив квадратное уравнение с корнями x и y.

Шаг 1. Замена переменных и преобразование второго уравнения.

Известно, что x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y). Тогда первое уравнение можно переписать как:

x³+y³+(xy)³=12 (x+y)³-3xy(x+y)+(xy)³=12

Обозначим u=x+y и v=xy. Подставим эти обозначения в преобразованное первое уравнение:

u³-3vu+v³=12 (·)

Теперь рассмотрим второе уравнение исходной системы:

x+xy+y=0 (x+y)+xy=0 u+v=0impliesv=-u

Шаг 2. Решение системы относительно u.

Подставим выражение v=-u в уравнение (·):

u³-3(-u)u+(-u)³=12 u³+3u²-u³=12 3u²=12 u²=4

Отсюда получаем два возможных значения для u:

u₁=2, u₂=-2

Соответствующие значения v находим из соотношения v=-u:

Если u₁=2, то v₁=-2.
Если u₂=-2, то v₂=2.

Шаг 3. Нахождение x и y.

Числа x и y являются корнями квадратного уравнения t²-ut+v=0. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: u=2,v=-2.

t²-2t-2=0

Дискриминант: D=(-2)²-4(1)(-2)=4+8=12.

t_1,2=2±12/2=2±23/2=1±3

Таким образом, пары решений (x;y) могут быть (1+3;1-3) или (1-3;1+3).

Случай 2: u=-2,v=2.

t²-(-2)t+2=0impliest²+2t+2=0

Дискриминант: D=2²-4(1)(2)=4-8=-4.

Так как дискриминант отрицательный, действительных корней нет. Если задача предполагает поиск только действительных решений, этот случай отбрасываем. В школьном курсе алгебры обычно ищутся действительные корни, если не указано иное. Однако проверим ответ по ключу: в ключе указаны только пары с bigl|3bigr|, что соответствует первому случаю. Значит, нас интересуют только действительные решения.

Проверка.

Возьмем пару x=1+3,y=1-3.

1. Проверка второго уравнения:

x+y+xy=(1+3)+(1-3)+(1+3)(1-3)=2+(1-3)=2-2=0.
Верно.

2. Проверка первого уравнения:

Вычислим x³+y³+x^3y³.

Мы знаем, что x+y=2 и xy=-2.

x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y)=2³-3(-2)(2)=8+12=20. x^3y³=(xy)³=(-2)³=-8. x³+y³+x^3y³=20+(-8)=12. Верно.

Аналогично проверяется вторая пара за счет симметрии.

Ответ

а) (1+3;1-3)

б) (1-3;1+3)

Задача сводится к замене переменных на сумму и произведение. Второе уравнение дает простую связь v=-u. После подстановки в первое уравнение получается биквадратное относительно u (или просто квадратное после сокращения кубов). Второй случай дает комплексные корни, которые в контексте стандартной школьной программы 9 класса обычно исключаются, если не оговорено обратное. Ключ подтверждает наличие только двух действительных пар.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 854 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 854?

Краткий ответ: а) (1+√3; 1-√3) б) (1-√3; 1+√3).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.