ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 852: Задачи повышенной трудности

Рассмотрим решение систем уравнений повышенной трудности. В обоих случаях ключевым приёмом является замена переменных или выделение общего множителя (x-y) и (x+y).

а) Система: {(x²+y²)(x-y)=447xy(x-y)=210

Заметим, что в обоих уравнениях есть общий множитель (x-y). Если x=y, то правые части равны нулю, что противоречит условию (447≠0). Значит, x≠y.

Разделим первое уравнение на второе:

(x²+y²)(x-y)/xy(x-y)=447/210

Сокращаем (x-y) и упрощаем дробь справа (делим числитель и знаменатель на 3):

x²+y²/xy=149/70 70(x²+y²)=149xy 70x²-149xy+70y²=0

Это однородное уравнение второй степени. Разделим его на y² (так как y≠0, иначе из второго уравнения следует 0=210, что неверно) и обозначим t=x/y:

70t²-149t+70=0

Найдём дискриминант:

D=(-149)²-4·70·70=22201-19600=2601=51²

Корни квадратного уравнения:

t₁=149+51/140=200/140=10/7, t₂=149-51/140=98/140=7/10

Таким образом, имеем два случая соотношения переменных: x=10/7y или x=7/10y.

Случай 1: x=10/7y. Подставим во второе исходное уравнение xy(x-y)=210:

(10/7y)·y·(10/7y-y)=210 10/7y²·3/7y=210 30/49y³=210 y³=210·49/30=7·49=343 y=7 Тогда x=10/7·7=10. Получаем пару (10;7).

Случай 2: x=7/10y. Аналогично подставим во второе уравнение:

(7/10y)·y·(7/10y-y)=210 7/10y²·(-3/10y)=210 -21/100y³=210 y³=210·(-100/21)=-1000 y=-10 Тогда x=7/10·(-10)=-7. Получаем пару (-7;-10).

Проверка для пункта а):

• Для (10;7): (100+49)(3)=149·3=447; 70·3=210. Верно.
• Для (-7;-10): (49+100)(-7-(-10))=149·3=447; (-7)(-10)(3)=70·3=210. Верно.

Примечание к ключу: В предоставленном ключе ответа для пункта а) указана пара (-7;10). Проверим её: x=-7,y=10. Тогда x-y=-17. Левая часть первого уравнения: (49+100)(-17)=149·(-17)=-2533≠447. Пара (-7;10) не является решением данной системы. Правильным решением для отрицательного корня является (-7;-10). Однако, если предположить опечатку в условии задачи (например, знак минус перед 447 или другое значение), результат мог бы отличаться. Но строго по данному условию ответ (-7;-10). Тем не менее, часто в таких задачах рассматривают симметрию. Давайте перепроверим вычисления для случая t=7/10. x/y=0.7. x=0.7y. 0.7y²(0.7y-y)=0.7y²(-0.3y)=-0.21y³=210⇒y³=-1000⇒y=-10,x=-7. Да, всё верно. Ключ содержит ошибку или относится к другой вариации условия. Мы приводим математически верный вывод.

б) Система: {xy(x+y)=30x³+y³=35

Воспользуемся формулой суммы кубов: x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²).

Обозначим S=x+y и P=xy. Тогда:

1) Из первого уравнения: P·S=30⇒P=30/S. 2) Второе уравнение можно переписать через S и P. Заметим, что x²+y²=(x+y)²-2xy=S²-2P. Тогда x²-xy+y²=(S²-2P)-P=S²-3P. Подставляем во второе уравнение: S(S²-3P)=35 S³-3SP=35

Подставим выражение для P (P=30/S) в это уравнение:

S³-3S(30/S)=35 S³-90=35 S³=125 S=5

Теперь найдём P:

P=30/S=30/5=6

Мы получили систему для нахождения x и y через их сумму и произведение:

{x+y=5xy=6

x и y являются корнями квадратного уравнения:

z²-Sz+P=0 z²-5z+6=0

По теореме Виета или через дискриминант находим корни:

D=25-24=1 z₁=5+1/2=3, z₂=5-1/2=2

Таким образом, пары решений: (3;2) и (2;3).

Проверка для пункта б):

• Для (2;3): xy(x+y)=6·5=30; x³+y³=8+27=35. Верно.
• Для (3;2): аналогично верно.