9 класс Задачи повышенной трудности

ГДЗ по алгебре, 9 класс, Макарычев, номер 849: Задачи повышенной трудности

Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное — Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.

Сергей Мишин, редактор алгебраических разборов Шпаргача обновлено 11 сентября 2026

← 848 850 →

Условие

При каком значении m корни уравнения x²-2mx+m²-1=0 принадлежат интервалу (-2; 4)?

Номер как в учебнике. Условие — полный пересказ редакции: те же пункты, числа и факты, не цитата из книги.

Пошаговое решение

План решения:

Чтобы оба корня квадратного уравнения x²-2mx+m²-1=0 принадлежали интервалу (-2;4), необходимо и достаточно выполнения трёх условий:

Дискриминант неотрицателен (D≥0), чтобы корни существовали.
Вершина параболы (среднее арифметическое корней) лежит внутри интервала: -2<x₀<4.
Значение функции на концах интервала положительно (так как ветви параболы направлены вверх): f(-2)>0 и f(4)>0.

Вычисление:

1. Найдём дискриминант:

D=(-2m)²-4·1·(m²-1)=4m²-4m²+4=4

Так как D=4>0, уравнение всегда имеет два различных действительных корня при любом m. Первое условие выполнено автоматически.

2. Найдём координату вершины параболы x₀:

x₀=-b/2a=--2m/2=m

Условие принадлежности вершины интервалу (-2;4):

-2<m<4

3. Проверим значения функции на концах интервала. Функция: f(x)=x²-2mx+m²-1.

Для левого конца x=-2:

f(-2)=(-2)²-2m(-2)+m²-1=4+4m+m²-1=m²+4m+3

Неравенство f(-2)>0:

m²+4m+3>0

Корни уравнения m²+4m+3=0: по теореме Виета m₁=-1,m₂=-3. Так как ветви параболы относительно переменной m направлены вверх, неравенство выполняется вне промежутка между корнями:

m∈(-∞;-3)∪(-1;+∞)

Для правого конца x=4:

f(4)=4²-2m(4)+m²-1=16-8m+m²-1=m²-8m+15

Неравенство f(4)>0:

m²-8m+15>0

Корни уравнения m²-8m+15=0: m₁=3,m₂=5. Неравенство выполняется вне промежутка между корнями:

m∈(-∞;3)∪(5;+∞)

Совмещение условий:

Нам нужно найти пересечение всех полученных множеств для m:

Из условия на вершину: m∈(-2;4)
Из условия f(-2)>0: m∈(-∞;-3)∪(-1;+∞)
Из условия f(4)>0: m∈(-∞;3)∪(5;+∞)

Рассмотрим пересечение с ограничением (-2;4):

Пересечение (-2;4) и ((-∞;-3)∪(-1;+∞)) даёт (-2;-3)∩... пусто и (4;...)∩(-1;4)=(-1;4). То есть из первых двух условий остаётся m∈(-1;4).

Теперь пересечём полученное (-1;4) с третьим условием m∈(-∞;3)∪(5;+∞):

(-1;4)∩((-∞;3)∪(5;+∞))=(-1;3)

Проверка:

Возьмём значение m=0 (принадлежит интервалу (-1;3)).

Уравнение: x²-1=0⇒x=±1. Оба корня -1 и 1 лежат в интервале (-2;4). Условие выполнено.

Возьмём граничное значение m=3 (не входит в ответ).

Уравнение: x²-6x+8=0. Корни: x₁=2,x₂=4. Корень 4 не принадлежит открытому интервалу (-2;4). Условие нарушено.

Возьмём значение m=-1 (не входит в ответ).

Уравнение: x²+2x=0. Корни: x₁=0,x₂=-2. Корень -2 не принадлежит открытому интервалу (-2;4). Условие нарушено.

Ответ

При m ∈ (-1; 3)

Задача решается через геометрические свойства графика квадратичной функции. Ключевые моменты: положительный дискриминант гарантирует наличие корней; вершина должна быть внутри интервала; значения функции на концах интервала должны быть одного знака с коэффициентом при старшей степени (положительны). Ответ совпадает с ключом.

Как решение?

Двойная оценка: понятность и подробность. Можно выбрать одно или оба.

Подробность

У вас другое условие?

Загрузите фото — учтём ваши числа и редакцию.

Решить по фото

Частые вопросы

Это точный номер 849 из моего учебника?

Номер совпадает с учебником «Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Формулировка — пересказ редакции, не дословная цитата. Если в вашей редакции другие числа — загрузите фото.

Какой ответ в задании 849?

Краткий ответ: При m ∈ (-1; 3).

Как пользоваться этим разбором?

Сначала прочитайте условие и чертёж, затем шаги решения по порядку и сверьте свой ход с кратким ответом внизу.

Какой учебник имеется в виду?

«Математика. Алгебра: 9-й класс: базовый уровень: учебник; 15-е издание, переработанное», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др.; под редакцией Теляковского С.А.. Проверьте часть, год и автора на обложке. Тема в учебнике: Задачи повышенной трудности.

Можно ли списать ответ без решения?

Лучше сначала решить самостоятельно, а разбор использовать для проверки хода и поиска ошибки.